1) 2sinП/8*cosП/8 2)sinП/8*cosП/8+1/4 3)cos^2*П/8-sin^2*П/8 4)корень из 2/2-(cosП/8+sinП/8)^2

Давайте разберем каждое выражение по отдельности и найдем их значения.

1) ( 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} )

Используем формулу для преобразования произведения синуса и косинуса через синус удвоенного угла: [ 2 \sin A \cos A = \sin 2A ]

В данном случае ( A = \frac{\pi}{8} ), тогда: [ 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{4} ]

Значение синуса для угла ( \frac{\pi}{4} ): [ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом: [ 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

2) ( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} )

Используем результат из первого выражения, где: [ 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Тогда: [ \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} ]

Теперь подставим это значение в исходное выражение: [ \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4} ]

3) ( \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} )

Используем формулу для разности квадратов косинуса и синуса через косинус удвоенного угла: [ \cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A ]

В данном случае ( A = \frac{\pi}{8} ), тогда: [ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} ]

Значение косинуса для угла ( \frac{\pi}{4} ): [ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом: [ \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

4) ( \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2 )

Для начала найдем значение ( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} ).

Используем известные значения тригонометрических функций для угла ( \frac{\pi}{8} ):

[ \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} ]

[ \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} ]

Тогда: [ \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} ]

Теперь возведем это в квадрат: [ \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{\left(\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}\right)^2}{4} ]

Раскроем квадрат суммы: [ \left(\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}\right)^2 = (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) + 2\sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} ]

Упростим: [ (2 + \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 4 ] [ 2\sqrt{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2} ]

Тогда: [ \left(\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}\right)^2 = 4 + 2\sqrt{2} ]

Теперь подставим это значение в исходное выражение: [ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1 ]

Таким образом, результат: [ \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2 = -1 ]

1) Произведение двух синусов и косинусов углов П/8 и П/8 равно sin(П/4), так как sin(П/4) = sqrt(2)/2. 2) Сумма sin(П/8)*cos(П/8) и 1/4 равна 1/2, так как sin(П/4) = 1/2. 3) Разность квадрата косинуса и квадрата синуса угла П/8 равна cos^2(П/4) - sin^2(П/4), что равно 0. 4) Корень из 2/2 минус квадрат суммы косинуса и синуса угла П/8 равен 0, так как корень из 2/2 = sin(П/4) и (cos(П/4) + sin(П/4))^2 = 1.

1) sin(π/4) 2) sin(π/8) * cos(π/8) + 1/4 3) cos(π/4) 4) √2/2 - cos(π/4) - sin(π/4)