1. а) постройте график функции y = cos ( x+ п/3) б)укажите промежутки возрастания и убывания функции...

а) График функции y = cos(x + π/3) будет сдвинут влево на π/3 единиц от графика обычной функции y = cos(x). Это означает, что период функции остается неизменным (2π), но пиковые точки и точки перегиба сдвигаются на π/3 единиц.

б) Функция y = cos(x + π/3) возрастает на промежутках, где косинусная функция положительна, т.е. на промежутках (2πk - π/3, 2πk + π/3), где k - целое число. Функция убывает на промежутках, где косинусная функция отрицательна, т.е. на промежутках (2πk + π/3, 2πk + 2π/3).

в) Нули функции y = cos(x + π/3) будут совпадать с нулями обычной функции y = cos(x), но сдвинутыми влево на π/3 единиц. Таким образом, нули функции будут находиться в точках x = π/2 + πn, где n - целое число.

а) График функции y = cos(x + π/3) будет смещен влево на π/3 от графика функции y = cos(x).

б) Функция возрастает на промежутках [-π/3 + 2πk, π/3 + 2πk], где k - целое число, и убывает на промежутках [π/3 + 2πk, 5π/3 + 2πk].

в) Нули функции находятся при x = -π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

а) Для построения графика функции ( y = \cos(x + \pi/3) ), начнем с базовой функции ( y = \cos(x) ). График косинуса представляет собой волну, которая начинается в точке (0,1), достигает минимума в ( \pi ), снова возвращается в точку (0,1) при ( 2\pi ), и так продолжается с периодом ( 2\pi ).

Чтобы получить график ( y = \cos(x + \pi/3) ), мы должны сдвинуть график ( y = \cos(x) ) влево на ( \pi/3 ). Это изменение аргумента функции на ( \pi/3 ) влево означает, что каждая точка графика ( y = \cos(x) ) перемещается влево на ( \pi/3 ). Таким образом, точка, которая была в начале координат (0,1), переместится в точку (-\pi/3, 1), и так далее для всех других точек.

б) Промежутки возрастания и убывания функции косинуса можно определить из его производной. Производная функции ( y = \cos(x) ) равна ( y' = -\sin(x) ). Для функции ( y = \cos(x + \pi/3) ), производная будет ( y' = -\sin(x + \pi/3) ).

Функция синуса положительна в интервалах ( (0, \pi) ), ( (2\pi, 3\pi) ), и т.д., а отрицательна в интервалах ( (\pi, 2\pi) ), ( (3\pi, 4\pi) ), и т.д. Следовательно, функция ( \cos(x + \pi/3) ) будет убывать там, где ( -\sin(x + \pi/3) ) положителен, и возрастать, где он отрицателен.

• Убывает на интервалах: ( \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right) ), ( \left(\frac{5\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}\right) ), и т.д.
• Возрастает на интервалах: ( \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) ), ( \left(\frac{8\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}\right) ), и т.д.

в) Нули функции ( y = \cos(x + \pi/3) ) находятся там, где аргумент косинуса равен ( \frac{\pi}{2} + k\pi ) для любого целого ( k ). То есть, мы решаем уравнение:

[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi. ]

Отсюда,

[ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi = \frac{\pi}{6} + k\pi. ]

Таким образом, нули функции находятся в точках ( x = \frac{\pi}{6} + k\pi ), где ( k ) — любое целое число.