Для нахождения двадцать третьего члена арифметической прогрессии (an) с известным первым членом (a1=-15) и разностью (d=3) используется формула an = a1 + (n-1)d. Подставляем значения и получаем: a23 = -15 + (23-1)3 = -15 + 66 = 51.
Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии используется формула Sn = n/2 (a1 + an), где a1 - первый член, an - n-ый член. Подставляем значения и получаем: S16 = 16/2 (8 + 0) = 8 * 8 = 64.
Для нахождения суммы первых n членов последовательности (bn=3n-1) используется формула Sn = n/2 (a1 + an), где a1 - первый член, an - n-ый член. Подставляем значения и получаем: S60 = 60/2 (31 - 1 + 360 - 1) = 30 (2 + 179) = 30 181 = 5430.
Чтобы проверить, является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (an), нужно использовать формулу an = a1 + (n-1)d и подставить значения. Получим: 54,5 = 25,5 + (n-1) * (5,5 - 25,5) => 54,5 = 25,5 - 20n + 20 => 29 = -20n, что невозможно. Следовательно, 54,5 не является членом данной арифметической прогрессии.
Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100, можно воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии Sn = n/2 (a1 + an), где a1 - первое число, an - последнее число. Подставляем значения и получаем: Sn = n/2 (3 + 99) = n/2 102. Чтобы найти n, решим уравнение 99 = 3 + (n-1)3, откуда получим n = 33. Подставляем это значение в формулу и получаем: S33 = 33/2 * 102 = 1683.
Давайте пошагово решим каждый из пунктов задания.
Найти двадцать третий член арифметической прогрессии (a_n), если a_1 = -15 и d = 3.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: [ a_n = a_1 + (n - 1)d ] Подставляем значения для n=23, a1=-15, d=3: [ a{23} = -15 + (23 - 1) \cdot 3 = -15 + 66 = 51 ] Ответ: ( a_{23} = 51 ).
Найти сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0;...
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: [ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) ] Здесь d = 4 - 8 = -4. Найдем a16: [ a{16} = 8 + (16 - 1) \cdot (-4) = 8 - 60 = -52 ] Теперь найдем сумму: [ S{16} = \frac{16}{2} (8 - 52) = 8 \cdot (-44) = -352 ] Ответ: ( S{16} = -352 ).
Найти сумму первых шестидесяти одного члена последовательности (b_n), заданной формулой b_n = 3n - 1.
Сумма первых n членов последовательности: [ Sn = \sum{k=1}^n (3k - 1) ] Разделим сумму на две части: [ Sn = 3 \sum{k=1}^n k - \sum{k=1}^n 1 ] Сумма первых n натуральных чисел: [ \sum{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum{k=1}^n 1 = n ] Подставляем n=61: [ S{61} = 3 \cdot \frac{61 \cdot 62}{2} - 61 = 91.5 \cdot 62 - 61 = 5673 - 61 = 5612 ] Ответ: ( S_{61} = 5612 ).
Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (a_n), в которой a_1 = 25,5 и a_9 = 5,5?
Найдем разность прогрессии: [ d = \frac{a_9 - a_1}{9 - 1} = \frac{5.5 - 25.5}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5 ] Проверим, может ли 54,5 быть членом прогрессии: [ 54.5 = 25.5 + (n - 1)(-2.5) ] [ 54.5 - 25.5 = (n - 1)(-2.5) ] [ 29 = (n - 1)(-2.5) ] [ n - 1 = \frac{29}{-2.5} = -11.6 ] Значение n получается нецелым, значит 54,5 не является членом этой прогрессии. Ответ: нет.
Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.
Последнее число в этом диапазоне, кратное 3, это 99. Первое число - это 3. Это арифметическая прогрессия с первым членом 3 и разностью 3. [ a_n = 3 + (n - 1) \cdot 3 = 3n ] [ 3n = 99 ] [ n = 33 ] Сумма первых n членов: [ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{33}{2} (3 + 99) = 16.5 \cdot 102 = 1683 ] Ответ: ( S = 1683 ).
