Для функции f(x)=x^3-3x^2-24x+2 найдем производную: f'(x) = 3x^2 - 6x - 24. Решим уравнение f'(x) = 0: 3x^2 - 6x - 24 = 0. Получаем x1 = -2 и x2 = 4. Теперь проведем знаковый анализ производной:
а) Для функции f(x)=x^2+4/x найдем производную: f'(x) = 2x - 4/x^2. Решим уравнение f'(x) = 0: 2x - 4/x^2 = 0. Получаем x1 = -2 и x2 = 2. Проведем знаковый анализ производной:
б) Для функции f(x)=4+6x^2-x^3 найдем производную: f'(x) = -3x^2 + 12x. Решим уравнение f'(x) = 0: -3x^2 + 12x = 0. Получаем x1 = 0 и x2 = 4. Проведем знаковый анализ производной:
в) Для функции f(x)=x^5+4x найдем производную: f'(x) = 5x^4 + 4. Поскольку производная всегда положительна, функция f(x) = x^5+4x возрастает на всей числовой прямой.
г) Для функции f(x)=2tg(x/4) найдем производную: f'(x) = 2*(1/cos^2(x/4))/4 = (2/cos^2(x/4))/4 = 1/(2cos^2(x/4)). Поскольку производная всегда положительна, функция f(x)=2tg(x/4) возрастает на всей числовой прямой.
Итак, промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x^3-3x^2-24x+2, а также промежутки убывания и возрастания функций f(x)=x^2+4/x, f(x)=4+6x^2-x^3, f(x)=x^5+4x и f(x)=2tg(x/4), и промежутки монотонности функции f(x)=x^2+6x/x-2 определены.
Для решения задач на нахождение промежутков возрастания и убывания функций, необходимо использовать производные. Производная функции позволяет определить, где функция растет (возрастает) и где убывает.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 2 ).
Сначала найдем первую производную функции: [ f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 ]
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: [ 3x^2 - 6x - 24 = 0 ]
Разделим уравнение на 3: [ x^2 - 2x - 8 = 0 ]
Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} ] [ x_1 = 4, \quad x_2 = -2 ]
Теперь определим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками (-\infty, -2, 4, \infty).
Для интервала ((- \infty, -2)): [ f'(-3) = 3(-3)^2 - 6(-3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} ]
Для интервала ((-2, 4)): [ f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 24 = -24 < 0 \quad \text{(функция убывает)} ]
Для интервала ((4, \infty)): [ f'(5) = 3(5)^2 - 6(5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} ]
Итак, функция возрастает на интервалах ((- \infty, -2)) и ((4, \infty)) и убывает на интервале ((-2, 4)).
Найдите промежутки, на которых функция:
а) ( f(x) = x^2 + \frac{4}{x} )
Найдем первую производную функции: [ f'(x) = 2x - \frac{4}{x^2} ]
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: [ 2x - \frac{4}{x^2} = 0 ] [ 2x^3 = 4 ] [ x^3 = 2 ] [ x = \sqrt[3]{2} ]
Определим знаки производной на интервалах, разделенных критической точкой (x = \sqrt[3]{2}):
Для интервала ((0, \sqrt[3]{2})): [ f'(1) = 2(1) - \frac{4}{(1)^2} = 2 - 4 = -2 < 0 \quad \text{(функция убывает)} ]
Для интервала ((\sqrt[3]{2}, \infty)): [ f'(2) = 2(2) - \frac{4}{(2)^2} = 4 - 1 = 3 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} ]
Итак, функция убывает на интервале ((0, \sqrt[3]{2})) и возрастает на интервале ((\sqrt[3]{2}, \infty)).
б) ( f(x) = 4 + 6x^2 - x^3 )
Найдем первую производную функции: [ f'(x) = 12x - 3x^2 ]
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: [ 12x - 3x^2 = 0 ] [ 3x(4 - x) = 0 ] [ x = 0, \quad x = 4 ]
Определим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками (0) и (4):
Для интервала ((-\infty, 0)): [ f'(-1) = 12(-1) - 3(-1)^2 = -12 - 3 = -15 < 0 \quad \text{(функция убывает)} ]
Для интервала ((0, 4)): [ f'(2) = 12(2) - 3(2)^2 = 24 - 12 = 12 > 0 \quad \text{(функция возрастает)} ]
Для интервала ((4, \infty)): [ f'(5) = 12(5) - 3(5)^2 = 60 - 75 = -15 < 0 \quad \text{(функция убывает)} ]
Итак, функция убывает на интервалах ((-\infty, 0)) и ((4, \infty)) и возрастает на интервале ((0, 4)).
в) ( f(x) = x^5 + 4x )
Найдем первую производную функции: [ f'(x) = 5x^4 + 4 ]
Производная (5x^4 + 4) всегда положительна, так как (5x^4 \geq 0) и (4 > 0): [ f'(x) > 0 \quad \text{на всей области определения функции} ]
Итак, функция возрастает на ((-\infty, \infty)).
г) ( f(x) = 2 \tan \frac{x}{4} )
Найдем первую производную функции: [ f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{4}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{4}} ]
Производная (\frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{4}}) всегда положительна, когда (\cos \frac{x}{4} \neq 0): [ f'(x) > 0 \quad \text{на всех интервалах, где (\cos \frac{x}{4} \neq 0)} ]
Итак, функция возрастает на интервалах ((4k\pi - 2\pi, 4k\pi + 2\pi)), где (k \in \mathbb{Z}).
Найдите промежутки монотонности функции ( f(x) = \frac{x^2 + 6x}{x - 2} ).
Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования дробных функций: [ f'(x) = \frac{(x^2 + 6x)' \cdot (x - 2) - (x^2 + 6x) \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2} ]
Вычислим производные числителя и знаменателя: [ (x^2 + 6x)' = 2x + 6, \quad (x - 2)' = 1 ]
Подставим в формулу: [ f'(x) = \frac{(2x + 6)(x - 2) - (x^2 + 6x)}{(x - 2)^2} ] [ f'(x) = \frac{2x^2 - 4x + 6x - 12 - x^2 - 6x}{(x - 2)^2} ] [ f'(x) = \frac{x^2 - 4x - 12}{(x - 2)^2} ]
Найдем критические точки, приравняв числитель к нулю: [ x^2 - 4x - 12 = 0 ]
Решим квадратное уравнение: [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} ] [ x_1 = 6, \quad x_2 = -2 ]
Определим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками (-2), (2) и (6):
Для интервала ((-\infty, -2)): [ f'(-3) = \frac{(-3)^2 - 4(-3) - 12}{(-3 - 2)^2} = \frac{9 + 12 - 12}{25} = \frac{9}{25} > 0 \quad \text{(функция возрастает)} ]
Для интервала ((-2, 2)): [ f'(0) = \frac{(0)^2 - 4(0) - 12}{(0 - 2)^2} = \frac{-12}{4} = -3 < 0 \quad \text{(функция убывает)} ]
Для интервала ((2, 6)): [ f'(3) = \frac{(3)^2 - 4(3) - 12}{(3 - 2)^2} = \frac{9 - 12 - 12}{1} = -15 < 0 \quad \text{(функция убывает)} ]
Для интервала ((6, \infty)): [ f'(7) = \frac{(7)^2 - 4(7) - 12}{(7 - 2)^2} = \frac{49 - 28 - 12}{25} = \frac{9}{25} > 0 \quad \text{(функция возрастает)} ]
Итак, функция возрастает на интервалах ((-\infty, -2)) и ((6, \infty)) и убывает на интервалах ((-2, 2)) и ((2, 6)).
