1. СократитЬ дробь: 36а²-12а+1 6а²+11а-2 2. Решить неравенство: -х²-2х+8≥0 Помогите пожалуйста

Давайте разберем оба ваших вопроса по порядку.

1. Сокращение дроби

У нас есть дробь:

[ \frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2} ]

Шаг 1: Факторизация числителя и знаменателя.

Начнем с факторизации числителя (36a^2 - 12a + 1). Для этого используем метод подбора или дискриминант.

Корни квадратного уравнения (36a^2 - 12a + 1 = 0) можно найти по формуле дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0 ]

Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

[ a = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 36} = \frac{1}{6} ]

Числитель можно записать в виде квадрата:

[ 36a^2 - 12a + 1 = (6a - 1)^2 ]

Теперь факторизуем знаменатель (6a^2 + 11a - 2). Найдем его корни:

[ D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 ]

Корни:

[ a_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-11 + 13}{12} = \frac{1}{6} ] [ a_2 = \frac{-11 - 13}{12} = \frac{-24}{12} = -2 ]

Знаменатель можно факторизовать следующим образом:

[ 6a^2 + 11a - 2 = 6(a - \frac{1}{6})(a + 2) = 6 \left(6a - 1\right)(a + 2) ]

Шаг 2: Подстановка в дробь.

Теперь подставим факторизованные выражения обратно в дробь:

[ \frac{(6a - 1)^2}{6(6a - 1)(a + 2)} ]

Шаг 3: Сокращение дроби.

Сократим общий множитель (6a - 1):

[ \frac{6a - 1}{6(a + 2)} \quad (\text{при } 6a - 1 \neq 0) ]

Итак, сокращенная форма дроби:

[ \frac{6a - 1}{6(a + 2)} ]

2. Решение неравенства

У нас есть неравенство:

[ -x^2 - 2x + 8 \geq 0 ]

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Умножим все на -1 (не забываем изменить знак неравенства):

[ x^2 + 2x - 8 \leq 0 ]

Шаг 2: Найдем корни уравнения.

Решим уравнение (x^2 + 2x - 8 = 0) с помощью дискриминанта:

[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ]

Корни:

[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 ] [ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 ]

Шаг 3: Определим знак параболы.

Парабола (y = x^2 + 2x - 8) открыта вверх (коэффициент при (x^2) положительный). Она будет отрицательной между корнями (x_1) и (x_2):

(-4 \leq x \leq 2)

Шаг 4: Записываем ответ.

Таким образом, решение неравенства:

[ [-4, 2] ]

Теперь у вас есть ответы на оба вопроса! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.

1. Сокращение дроби:

Дробь:
[ \frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2}. ]

Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а затем, если возможно, сократить общие множители.

Числитель: ( 36a^2 - 12a + 1 )
Это квадратный трёхчлен. Попробуем разложить его по формуле квадратного трёхчлена или методом подбора:

1. Для квадратного трёхчлена ( ax^2 + bx + c ), дискриминант равен: [ D = b^2 - 4ac. ] Здесь ( a = 36, b = -12, c = 1 ). Подставляем: [ D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0. ] Дискриминант равен нулю, значит, у этого уравнения один корень, и оно разлагается как полный квадрат: [ 36a^2 - 12a + 1 = (6a - 1)^2. ]

Знаменатель: ( 6a^2 + 11a - 2 )
Разложим его на множители методом подбора. Найдём два числа, которые в произведении дают ( 6 \cdot (-2) = -12 ), а в сумме дают ( 11 ). Это числа ( 12 ) и ( -1 ). Разложим выражение: [ 6a^2 + 11a - 2 = 6a^2 + 12a - a - 2. ] Группируем и выносим общий множитель из каждой группы: [ 6a(a + 2) - 1(a + 2). ] Выносим общий множитель ( (a + 2) ): [ 6a^2 + 11a - 2 = (6a - 1)(a + 2). ]

Теперь подставляем обратно в дробь: [ \frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2} = \frac{(6a - 1)^2}{(6a - 1)(a + 2)}. ]

Сокращаем общий множитель ( (6a - 1) ): [ \frac{(6a - 1)^2}{(6a - 1)(a + 2)} = \frac{6a - 1}{a + 2}. ]

Ответ: [ \frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2} = \frac{6a - 1}{a + 2}, \quad a \neq -\frac{1}{6}, \quad a \neq -2. ]
(Исключаем значения, при которых знаменатель обращается в ноль.)

1. Решение неравенства:

Неравенство:
[ -x^2 - 2x + 8 \geq 0. ]

Сначала преобразуем его, умножив обе части на (-1) (помним, что знак неравенства при этом изменится): [ x^2 + 2x - 8 \leq 0. ]

Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 + 2x - 8 = 0 ), чтобы найти корни. Используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1, b = 2, c = -8 ). Подставляем: [ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}. ] [ x = \frac{-2 \pm 6}{2}. ] [ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4. ]

Корни уравнения: ( x_1 = 2 ), ( x_2 = -4 ).

Теперь определим знаки выражения ( x^2 + 2x - 8 ) на промежутках, которые делят корни: ( (-\infty, -4) ), ( (-4, 2) ), ( (2, +\infty) ). Для этого подставляем пробные значения из каждого промежутка в выражение.

1. На ( (-\infty, -4) ): возьмём, например, ( x = -5 ): [ (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0. ]

2. На ( (-4, 2) ): возьмём, например, ( x = 0 ): [ (0)^2 + 2(0) - 8 = -8 < 0. ]

3. На ( (2, +\infty) ): возьмём, например, ( x = 3 ): [ (3)^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0. ]

То есть знаки чередуются: ( (+), (-), (+) ).

Нас интересует, где ( x^2 + 2x - 8 \leq 0 ), то есть где выражение неположительно. Это промежуток, где знак «минус», включая точки ( x_1 = -4 ) и ( x_2 = 2 ), так как неравенство нестрогое (( \leq )).

Ответ: [ x \in [-4, 2]. ]