1. сумма седьмого и девятого членов арифметической прогрессии равна 12, а произведение шестого и десятого...

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как а, а разность как d. Тогда седьмой член будет равен a + 6d, девятый - a + 8d, шестой - a + 5d, а десятый - a + 9d.

Из условия задачи у нас есть два уравнения: (a + 6d) + (a + 8d) = 12 (a + 5d) * (a + 9d) = -28

Решим первое уравнение: 2a + 14d = 12 a + 7d = 6 a = 6 - 7d

Подставим это значение во второе уравнение: (6 - 7d + 5d) (6 - 7d + 9d) = -28 (6 - 2d) (6 + 2d) = -28 36 - 4d^2 = -28 4d^2 = 64 d^2 = 16 d = 4 или d = -4

Так как разность не может быть отрицательной, то d = 4. Теперь найдем первый член: a = 6 - 7*4 a = 6 - 28 a = -22

Итак, разность арифметической прогрессии равна 4, а первый член равен -22.

Рассмотрим арифметическую прогрессию, где первый член равен ( a_1 = a ), а разность прогрессии равна ( d ). Тогда ( n )-й член прогрессии можно выразить как:

[ a_n = a + (n-1)d ]

Теперь, используем данное условие задачи.

1. Сумма седьмого и девятого членов прогрессии равна 12:

[ a_7 + a_9 = 12 ]

Подставим выражения для этих членов:

[ (a + 6d) + (a + 8d) = 12 ]

[ 2a + 14d = 12 ]

Упростим это уравнение:

[ a + 7d = 6 ] \quad (1)

1. Произведение шестого и десятого членов равно -28:

[ a6 \cdot a{10} = -28 ]

Подставим выражения для этих членов:

[ (a + 5d)(a + 9d) = -28 ]

Раскроем скобки:

[ a^2 + 9ad + 5ad + 45d^2 = -28 ]

[ a^2 + 14ad + 45d^2 = -28 ] \quad (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

[ a + 7d = 6 ] \quad (1)

[ a^2 + 14ad + 45d^2 = -28 ] \quad (2)

Решим эту систему. Из уравнения (1) выразим ( a ):

[ a = 6 - 7d ]

Подставим это выражение в уравнение (2):

[ (6 - 7d)^2 + 14(6 - 7d)d + 45d^2 = -28 ]

Раскроем скобки:

[ 36 - 84d + 49d^2 + 84d - 98d^2 + 45d^2 = -28 ]

Упростим:

[ 36 - 4d^2 = -28 ]

[ 4d^2 = 64 ]

[ d^2 = 16 ]

[ d = \pm 4 ]

Теперь найдем ( a ) для каждого значения ( d ).

1. Если ( d = 4 ):

[ a = 6 - 7 \times 4 = 6 - 28 = -22 ]

1. Если ( d = -4 ):

[ a = 6 - 7 \times (-4) = 6 + 28 = 34 ]

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1. ( a = -22 ), ( d = 4 )
2. ( a = 34 ), ( d = -4 )

Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Разность арифметической прогрессии равна -4, а первый член равен 6.