Задача 1
В вазе лежат 7 яблок и 4 груши. Не глядя из вазы последовательно берут 2 фрукта, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что второй извлечена груша, при условии, что первой также была извлечена груша?
Для решения этой задачи, нам нужно найти условную вероятность события (B) (второй фрукт - груша) при условии, что произошло событие (A) (первый фрукт - груша).
Обозначим:
- (P(A)) - вероятность того, что первой была извлечена груша.
- (P(B|A)) - вероятность того, что второй фрукт - груша, при условии, что первый фрукт - груша.
- (P(A \cap B)) - вероятность того, что и первый, и второй фрукт - груши.
Сначала найдем (P(A)):
[P(A) = \frac{\text{Количество груш}}{\text{Общее количество фруктов}} = \frac{4}{11}]
Теперь найдем (P(A \cap B)). Если первая извлеченная - груша, то остается 3 груши и 10 фруктов:
[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{4}{11} \times \frac{3}{10} = \frac{12}{110} = \frac{6}{55}]
Теперь найдем (P(B|A)):
[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{6}{55}}{\frac{4}{11}} = \frac{6}{55} \times \frac{11}{4} = \frac{6 \times 11}{55 \times 4} = \frac{66}{220} = \frac{3}{10}]
Таким образом, вероятность того, что второй фрукт - груша, при условии, что первой была извлечена груша, составляет (\frac{3}{10}) или 30%.
Задача 2
В коробке лежат 10 деталей, среди которых 4 легче остальных. Случайным образом на 6 из них сделали напыление. Какова вероятность того, что вынутая из коробки деталь окажется легкой без напыления?
Обозначим:
- (E) - событие, что деталь легкая.
- (N) - событие, что на детали нет напыления.
- (E \cap N) - событие, что деталь легкая и без напыления.
Нам нужно найти вероятность события (E \cap N).
Сначала найдем количество легких деталей без напыления. Всего легких деталей - 4, а всего деталей с напылением - 6. Если среди 6 деталей с напылением все 4 легкие, значит, у нас нет легкой детали без напыления. Если легкая деталь без напыления есть, то это значит, что напыление сделали на (4 - x) легких деталей (где (x) - количество легких деталей без напыления) и на (6 - (4 - x) = 2 + x) тяжелых деталей.
Количество способов выбрать 6 деталей из 10:
[\binom{10}{6}]
Количество способов выбрать 4 легкие детали из 4:
[\binom{4}{4} = 1]
Количество способов выбрать 2 тяжелые детали из 6:
[\binom{6}{2} = 15]
Таким образом, общее количество благоприятных исходов:
[1 \times 15 = 15]
Общее количество способов выбрать 6 деталей из 10:
[\binom{10}{6} = 210]
Вероятность того, что легкая деталь без напыления:
[\frac{15}{210} = \frac{1}{14}]
Таким образом, вероятность того, что вынутая из коробки деталь окажется легкой без напыления, составляет (\frac{1}{14}) или приблизительно 7.14%.
Задача 3
В вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов. Какова вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере одна гвоздика?
Используем метод дополнения. Найдем вероятность противоположного события ((A')) - что среди трех вынутых цветков не будет ни одной гвоздики (то есть все три цветка будут нарциссами).
Количество способов выбрать 3 нарцисса из 6:
[\binom{6}{3} = 20]
Общее количество способов выбрать 3 цветка из 11:
[\binom{11}{3} = 165]
Вероятность события (A'):
[P(A') = \frac{20}{165} = \frac{4}{33}]
Теперь вероятность того, что среди трех вынутых цветков будет по крайней мере одна гвоздика:
[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{4}{33} = \frac{33 - 4}{33} = \frac{29}{33}]
Таким образом, вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере одна гвоздика, составляет (\frac{29}{33}) или приблизительно 87.88%.
