1) Вычислить tg π/6 + 1/3 sin π/3 - 2/3 cos π/6 2) Вычислить sin(-23π/6) 3) Вычислить 2ctg(π/2-π/4)*sin(π+π/6)*cos(2π+π/3)...

Давайте разберем каждый из заданных вопросов шаг за шагом.

1) Вычислить ( \tan \frac{\pi}{6} + \frac{1}{3} \sin \frac{\pi}{3} - \frac{2}{3} \cos \frac{\pi}{6} ).

• Значения тригонометрических функций:
  • ( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} ).
  • ( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
  • ( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} ).

Теперь подставим эти значения в выражение: [ \tan \frac{\pi}{6} + \frac{1}{3} \sin \frac{\pi}{3} - \frac{2}{3} \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Упростим выражение: [ = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}. ]

Приведем к общему знаменателю: [ = \frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}. ]

2) Вычислить ( \sin(-\frac{23\pi}{6}) ).

Сначала упростим угол. Период синуса равен (2\pi), поэтому: [ -\frac{23\pi}{6} + 4\pi = -\frac{23\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{\pi}{6}. ]

Таким образом: [ \sin(-\frac{23\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}). ]

Значение: [ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}. ]

3) Вычислить ( 2 \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) \cdot \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) \cdot \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) ).

• Значения тригонометрических функций:
  • ( \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 ).
  • ( \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} ).
  • ( \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} ).

Теперь подставим эти значения в выражение: [ 2 \cdot 1 \cdot -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot -\frac{1}{4} = -\frac{1}{2}. ]

Итак, итоговые результаты: 1) ( \frac{\sqrt{3}}{6} ). 2) ( \frac{1}{2} ). 3) (-\frac{1}{2}).

1) Для вычисления данного выражения сначала найдем значения тригонометрических функций в точках π/6, π/3 и π/4: tg(π/6) = sin(π/6) / cos(π/6) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 sin(π/3) = √3/2 cos(π/3) = 1/2 cos(π/6) = √3/2

Подставим найденные значения в исходное выражение: tg(π/6) + 1/3 sin(π/3) - 2/3 cos(π/6) = 1/√3 + 1/3 √3/2 - 2/3 √3/2 = 1/√3 + √3/6 - √3/3 = 1/√3 + √3/6 - 2√3/6 = 1/√3 - √3/6 = (2 - 3)/6√3 = -1/6√3

Ответ: -1/6√3

2) Для вычисления sin(-23π/6) приведем угол к промежутку от 0 до 2π: -23π/6 = -4π - π/6 sin(-4π) = 0 (так как синус периодичен с периодом 2π)

Ответ: 0

3) Для вычисления данного выражения раскроем функции и преобразуем их: 2ctg(π/2-π/4) = 2ctg(π/4) = 2 * 1 = 2 sin(π+π/6) = sin(7π/6) = -1/2 cos(2π+π/3) = cos(7π/3) = 1/2

Подставим полученные значения в исходное выражение: 2 (-1/2) 1/2 = -1

Ответ: -1