1. Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями у=х^2 и у=4 ( Пожалуйста пишите решение как можно...

1. Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=4, нужно найти точки пересечения этих двух графиков. Подставим y=x^2 и y=4 в уравнение y=x^2, чтобы найти точки пересечения: 4 = x^2 x = ±2

Таким образом, точки пересечения графиков y=x^2 и y=4 равны (-2, 4) и (2, 4). Теперь мы можем построить график данной фигуры и найти площадь, ограниченную этими линиями.

Площадь фигуры можно найти как интеграл от функции (4 - x^2) dx на интервале от -2 до 2: S = ∫(4 - x^2) dx, от -2 до 2

Вычислим данный интеграл: S = [4x - (x^3)/3] от -2 до 2 S = [8 - 8/3] - [-8 + 8/3] S = 8/3 + 8/3 S = 16/3

Поэтому площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=4, равна 16/3.

1. Для нахождения первообразной функции f(x)=1/x^2 - 2sin(x) необходимо найти аналитическое выражение, которое при дифференцировании даст нам данную функцию.

Найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности:

• Первообразная для 1/x^2: ∫(1/x^2) dx = -1/x
• Первообразная для -2sin(x): ∫(-2sin(x)) dx = 2cos(x)

Таким образом, первообразная для функции f(x)=1/x^2 - 2sin(x) будет равна сумме первообразных для каждого слагаемого: F(x) = -1/x + 2cos(x) + C

Где C - произвольная постоянная.

Давайте рассмотрим каждый пункт задачи подробно.

1. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 4 )

Для начала определим точки пересечения данных кривых. Приравняем их: [ x^2 = 4 ] [ x = \pm2 ]

Таким образом, парабола ( y = x^2 ) и прямая ( y = 4 ) пересекаются в точках ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Эта фигура заключена между параболой и прямой в пределах от ( x = -2 ) до ( x = 2 ). Площадь между кривыми находится как интеграл разности функций в заданных пределах: [ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx ]

Вычислим данный интеграл:

1. Найдём первообразную функции ( 4 - x^2 ): [ \int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C ]
2. Подставим пределы интегрирования: [ S = \left(4x - \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{-2}^{2} ] [ S = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) ] [ S = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) ] [ S = \left(\frac{16}{3}\right) + \left(\frac{16}{3}\right) ] [ S = \frac{32}{3} ]

Итак, площадь фигуры равна ( \frac{32}{3} ) квадратных единиц.

2. Нахождение первообразной для функции ( f(x) = \frac{1}{x^2} - 2 \sin x ), ( x \neq 0 )

Первообразная данной функции находится путём почленного интегрирования каждого термина:

1. Первообразная для ( \frac{1}{x^2} ) (или ( x^{-2} )): [ \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1 ]
2. Первообразная для ( -2 \sin x ): [ \int (-2 \sin x) \, dx = 2 \cos x + C_2 ]

Объединение результатов дает: [ F(x) = -\frac{1}{x} + 2 \cos x + C ] где ( C = C_1 + C_2 ) — константа интегрирования.

Таким образом, первообразная для функции ( f(x) = \frac{1}{x^2} - 2 \sin x ) имеет вид: [ F(x) = -\frac{1}{x} + 2 \cos x + C ]