1/(1+tg^(2)a) + 1/(1+ctg^(2)a)

Рассмотрим выражение:

[ \frac{1}{1 + \tan^2 a} + \frac{1}{1 + \cot^2 a}. ]

Здесь ( \tan^2 a ) — квадрат тангенса угла ( a ), а ( \cot^2 a ) — квадрат котангенса угла ( a ). Разберем это выражение подробно.

1. Используем основное тригонометрическое тождество:

Из основного тригонометрического тождества известно, что:

[ 1 + \tan^2 a = \sec^2 a, ]

где ( \sec a = \frac{1}{\cos a} ) — секанс угла ( a ).

Также известно, что:

[ 1 + \cot^2 a = \csc^2 a, ]

где ( \csc a = \frac{1}{\sin a} ) — косеканс угла ( a ).

2. Подставляем эти равенства в исходное выражение:

Подставим ( 1 + \tan^2 a = \sec^2 a ) и ( 1 + \cot^2 a = \csc^2 a ) в выражение:

[ \frac{1}{1 + \tan^2 a} + \frac{1}{1 + \cot^2 a} = \frac{1}{\sec^2 a} + \frac{1}{\csc^2 a}. ]

3. Упрощаем дроби:

Обратные величины секанса и косеканса выражаются через основные тригонометрические функции:

[ \frac{1}{\sec^2 a} = \cos^2 a, \quad \frac{1}{\csc^2 a} = \sin^2 a. ]

Таким образом, выражение преобразуется в:

[ \cos^2 a + \sin^2 a. ]

4. Применяем основное тригонометрическое тождество:

Из основного тригонометрического тождества известно, что:

[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1. ]

Итог:

Значение данного выражения равно:

[ \boxed{1}. ]

Таким образом, независимо от значения угла ( a ), результат выражения всегда равен единице.

Рассмотрим выражение ( \frac{1}{1 + \tan^2 a} + \frac{1}{1 + \cot^2 a} ).

Сначала вспомним некоторые тригонометрические идентичности:

1. ( \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} )
2. ( \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} )
3. Также, по известной тригонометрической идентичности, ( 1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} ) и ( 1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} ).

Теперь можем переписать каждое из слагаемых:

[ \frac{1}{1 + \tan^2 a} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 a}} = \cos^2 a ]

[ \frac{1}{1 + \cot^2 a} = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 a}} = \sin^2 a ]

Теперь подставим эти результаты в исходное выражение:

[ \frac{1}{1 + \tan^2 a} + \frac{1}{1 + \cot^2 a} = \cos^2 a + \sin^2 a ]

Согласно основному тригонометрическому тождеству, мы знаем, что:

[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1 ]

Таким образом, итоговое значение нашего выражения:

[ \frac{1}{1 + \tan^2 a} + \frac{1}{1 + \cot^2 a} = 1 ]

Ответ: ( 1 ).