18/x-46/(x-5)=1 решите пожалуйста

Конечно, давайте решим уравнение ( \frac{18}{x} - \frac{46}{x-5} = 1 ).

Шаг 1: Найти общий знаменатель. Общий знаменатель для дробей (\frac{18}{x}) и (\frac{46}{x-5}) — это произведение (x(x-5)).

Шаг 2: Привести дроби к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби так, чтобы у обеих дробей был общий знаменатель (x(x-5)):

[ \frac{18}{x} \cdot \frac{x-5}{x-5} = \frac{18(x-5)}{x(x-5)} ]

[ \frac{46}{x-5} \cdot \frac{x}{x} = \frac{46x}{x(x-5)} ]

Теперь наше уравнение выглядит так:

[ \frac{18(x-5)}{x(x-5)} - \frac{46x}{x(x-5)} = 1 ]

Шаг 3: Объединить дроби под одним знаменателем.

[ \frac{18(x-5) - 46x}{x(x-5)} = 1 ]

Шаг 4: Упростить числитель.

[ 18(x-5) - 46x = 18x - 90 - 46x = -28x - 90 ]

Таким образом, уравнение принимает вид:

[ \frac{-28x - 90}{x(x-5)} = 1 ]

Шаг 5: Перейти к уравнению без дробей, умножив обе части на (x(x-5)).

[ -28x - 90 = x(x-5) ]

Раскроем скобки:

[ -28x - 90 = x^2 - 5x ]

Шаг 6: Привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения.

[ x^2 - 5x + 28x + 90 = 0 ]

[ x^2 + 23x + 90 = 0 ]

Шаг 7: Решить квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем случае (a = 1), (b = 23), (c = 90):

[ x = \frac{-23 \pm \sqrt{23^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{-23 \pm \sqrt{529 - 360}}{2} ]

[ x = \frac{-23 \pm \sqrt{169}}{2} ]

[ x = \frac{-23 \pm 13}{2} ]

Шаг 8: Найти корни.

[ x_1 = \frac{-23 + 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ]

[ x_2 = \frac{-23 - 13}{2} = \frac{-36}{2} = -18 ]

Шаг 9: Проверить найденные корни на допустимость. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению.

Подставим (x_1 = -5) в исходное уравнение: [ \frac{18}{-5} - \frac{46}{-5-5} = \frac{18}{-5} - \frac{46}{-10} = -\frac{18}{5} + \frac{23}{5} = \frac{5}{5} = 1 ] Данное значение не удовлетворяет исходному уравнению, так как знаменатель первой дроби равен нулю.

Подставим (x_2 = -18) в исходное уравнение: [ \frac{18}{-18} - \frac{46}{-18-5} = -1 - \frac{46}{-23} = -1 + 2 = 1 ] Это значение удовлетворяет уравнению.

Таким образом, единственным решением уравнения ( \frac{18}{x} - \frac{46}{x-5} = 1 ) является (x = -18).

Для решения данного уравнения сначала приведем его к общему знаменателю. Умножим первое слагаемое на (x-5), а второе на x: 18(x-5)/x - 46x/(x-5) = 1. Далее раскроем скобки и приведем подобные дроби: 18(x-5)^2/x(x-5) - 46x^2/x(x-5) = 1. Умножим обе части уравнения на x(x-5) для избавления от знаменателя: 18(x-5)^2 - 46x^2 = x(x-5). Раскроем квадраты и приведем подобные члены: 18(x^2 - 10x + 25) - 46x^2 = x^2 - 5x. 18x^2 - 180x + 450 - 46x^2 = x^2 - 5x. -28x^2 - 180x + 450 = x^2 - 5x. Переносим все члены в одну часть уравнения: -29x^2 - 175x + 450 = 0. Далее решаем полученное квадратное уравнение для x.