(1/9)в степени x+5=27 в степени x ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА.

Давайте решим уравнение ((\frac{1}{9})^{x+5} = 27^{x}).

Сначала выразим обе стороны уравнения через одинаковые основания.

Мы знаем, что:

• (9 = 3^2), следовательно (\frac{1}{9} = 3^{-2}).
• (27 = 3^3).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

[ (3^{-2})^{x+5} = (3^3)^{x} ]

Теперь применим правило степеней ((a^m)^n = a^{m \cdot n}):

[ 3^{-2(x+5)} = 3^{3x} ]

Так как основания равны, можем приравнять показатели степени:

[ -2(x+5) = 3x ]

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

[ -2x - 10 = 3x ]

Теперь перенесем все (x) на одну сторону, а числа на другую:

[ -2x - 3x = 10 ]

[ -5x = 10 ]

Теперь разделим обе стороны на (-5):

[ x = -2 ]

Таким образом, решением уравнения ((\frac{1}{9})^{x+5} = 27^{x}) является (x = -2).

Проверим полученное решение, подставив (x = -2) обратно в исходное уравнение:

[ (\frac{1}{9})^{-2+5} = 27^{-2} ]

Это упрощается до:

[ (\frac{1}{9})^{3} = 27^{-2} ]

Теперь вычислим обе стороны:

[ \frac{1}{9^3} = \frac{1}{729} ]

И для правой части:

[ 27^{-2} = \frac{1}{27^2} = \frac{1}{729} ]

Обе стороны равны, следовательно, решение (x = -2) верно.

Рассмотрим уравнение:
[ \left( \frac{1}{9} \right)^{x+5} = 27^x. ]

Шаг 1: Представим числа ( \frac{1}{9} ) и ( 27 ) как степени числа ( 3 ).

Заметим, что ( 9 = 3^2 ), следовательно, ( \frac{1}{9} = 3^{-2} ).
Также ( 27 = 3^3 ). Подставим это в уравнение:
[ \left( 3^{-2} \right)^{x+5} = \left( 3^3 \right)^x. ]

Шаг 2: Упростим степени.

Используем свойство степеней: ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ). Преобразуем обе стороны:
[ 3^{-2(x+5)} = 3^{3x}. ]

Упростим выражения в степенях:
[ 3^{-2x - 10} = 3^{3x}. ]

Шаг 3: Сравним показатели степеней.

Так как основания степеней одинаковые (число ( 3 )), то равенство достигается, если равны их показатели:
[ -2x - 10 = 3x. ]

Шаг 4: Решим уравнение для ( x ).

Переносим все переменные ( x ) в одну сторону:
[ -2x - 3x = 10. ]

Объединяем коэффициенты:
[ -5x = 10. ]

Делим обе стороны на (-5):
[ x = -2. ]

Шаг 5: Проверка.

Подставим ( x = -2 ) в исходное уравнение:
[ \left( \frac{1}{9} \right)^{x+5} = 27^x. ] Вычислим левую часть:
[ x + 5 = -2 + 5 = 3, \quad \left( \frac{1}{9} \right)^3 = \frac{1}{9^3} = \frac{1}{729}. ] Вычислим правую часть:
[ 27^x = 27^{-2} = \frac{1}{27^2} = \frac{1}{729}. ]

Левая и правая части равны, значит, ( x = -2 ) — правильное решение.

Ответ:

[ x = -2. ]