1+ctg2x=1/cos(3pi/2-2x) на промежутке -2pi ; -pi/2

Тематика Алгебра
Уровень 10 - 11 классы
тригонометрическое уравнение решение уравнений тригонометрия математика промежуток косинус котангенс преобразование углов
0

1+ctg2x=1/cos(3pi/2-2x) на промежутке -2pi ; -pi/2

avatar
задан 2 месяца назад

2 Ответа

0

Для решения уравнения (1 + \cot(2x) = \frac{1}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right)}) на промежутке ([-2\pi, -\frac{\pi}{2}]), начнем с преобразований и упрощений.

  1. Упростим правую часть уравнения:

    Используем формулу для косинуса разности углов: [ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x) + \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin(2x) ]

    Зная, что (\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0) и (\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1), получаем: [ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(2x) ]

    Таким образом, уравнение становится: [ 1 + \cot(2x) = -\frac{1}{\sin(2x)} ]

  2. Преобразуем уравнение:

    Напомним, что (\cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}). Подставим это в уравнение: [ 1 + \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = -\frac{1}{\sin(2x)} ]

    Приведем левую часть к общему знаменателю: [ \frac{\sin(2x) + \cos(2x)}{\sin(2x)} = -\frac{1}{\sin(2x)} ]

    Умножим обе части на (\sin(2x)), чтобы избавиться от знаменателей: [ \sin(2x) + \cos(2x) = -1 ]

  3. Решим уравнение:

    Преобразуем уравнение: [ \sin(2x) + \cos(2x) = -1 ]

    Используем замену: [ \sin(2x) = t, \quad \cos(2x) = \sqrt{1 - t^2} ]

    Таким образом, уравнение принимает вид: [ t + \sqrt{1 - t^2} = -1 ]

    Решим это уравнение. Перенесем (t) в правую часть: [ \sqrt{1 - t^2} = -1 - t ]

    Возведем обе части в квадрат: [ 1 - t^2 = (1 + t)^2 ]

    Раскроем скобки: [ 1 - t^2 = 1 + 2t + t^2 ]

    Перенесем все члены в одну часть уравнения: [ 0 = 2t + 2t^2 ]

    Упростим: [ 2t(t + 1) = 0 ]

    Отсюда решения: [ t = 0 \quad \text{или} \quad t = -1 ]

    1. Для (\sin(2x) = 0):

      [ 2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

      На заданном промежутке ([-2\pi, -\frac{\pi}{2}]) для (x) находим: [ x = -\pi, -\frac{\pi}{2} ]

    2. Для (\sin(2x) = -1):

      [ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n ]

      На заданном промежутке ([-2\pi, -\frac{\pi}{2}]) для (x) находим: [ x = -\frac{3\pi}{4} ]

Таким образом, решения уравнения на заданном промежутке: (x = -\pi, -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{4}).

avatar
ответил 2 месяца назад
0

Для начала преобразуем левую часть уравнения.

ctg(2x) = cos(2x) / sin(2x) = cos(2x) / cos(pi/2 - 2x)

Таким образом, получаем уравнение:

1 + cos(2x) / cos(pi/2 - 2x) = 1 / cos(3pi/2 - 2x)

Умножим обе части уравнения на cos(3pi/2 - 2x) и упростим:

cos(3pi/2 - 2x) + cos(2x) = 1

Теперь решим это уравнение на заданном промежутке -2pi ; -pi/2.

cos(3pi/2 - 2x) = sin(2x) = -sin(-2x) = -sin(2x) = -cos(pi/2 - 2x)

cos(2x) = cos(-2x)

Теперь подставим обратно в уравнение:

-sin(2x) + cos(2x) = 1

2cos(2x - pi/4) = 1

cos(2x - pi/4) = 1/2

2x - pi/4 = pi/3 или 2x - pi/4 = -pi/3

2x = pi/3 + pi/4 или 2x = -pi/3 + pi/4

2x = 7pi/12 или 2x = pi/12

x = 7pi/24 или x = pi/24

Таким образом, решение данного уравнения на промежутке -2pi ; -pi/2: x = 7pi/24.

avatar
ответил 2 месяца назад

Ваш ответ