1)докажите что функция y=-x^2+4x на промежутке а)[2.+бесконечность ) убывает .б)(-бесконенчость ;2] 2)При каких значениях функция k ,y=kx+b является -а)возрастающей ,убывающей
1)докажите что функция y=-x^2+4x на промежутке а)[2.+бесконечность ) убывает .б)(-бесконенчость ;2] 2)При каких значениях функция k ,y=kx+b является -а)возрастающей ,убывающей
1) Для доказательства убывания функции y=-x^2+4x на промежутке [2, +бесконечность) нужно найти производную этой функции и показать, что она отрицательна на данном промежутке. 2) Функция y=kx+b является возрастающей, если k > 0, и убывающей, если k < 0.
1) Рассмотрим функцию ( y = -x^2 + 4x ).
Чтобы доказать, что функция убывает или возрастает на определенном промежутке, необходимо рассмотреть производную этой функции.
Первый шаг — найти производную функции:
[ y = -x^2 + 4x ]
[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x) = -2x + 4 ]
а) На промежутке ([2, +\infty)):
Производная ( y' = -2x + 4 ) показывает скорость изменения функции. На данном промежутке ( x \geq 2 ).
Проверим знак производной на этом промежутке:
Подставим ( x = 2 ) в производную:
[ y'(2) = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0 ]
При ( x > 2 ), например, возьмем ( x = 3 ):
[ y'(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2 ]
Таким образом, для всех ( x > 2 ), производная ( y' ) отрицательна, что говорит о том, что функция убывает.
б) На промежутке ((-\infty, 2]):
Производная ( y' = -2x + 4 ) также определяет скорость изменения функции. На данном промежутке ( x \leq 2 ).
Проверим знак производной на этом промежутке:
Подставим ( x = 1 ):
[ y'(1) = -2(1) + 4 = -2 + 4 = 2 ]
Таким образом, для всех ( x < 2 ), производная ( y' ) положительна, что говорит о том, что функция возрастает.
2) Функция ( y = kx + b ) является линейной, и её поведение (возрастание или убывание) определяется знаком коэффициента ( k ).
а) Функция возрастает, если её производная положительна. Для линейной функции производная — это коэффициент при ( x ), то есть ( k ).
[ k > 0 ] — функция возрастает.
б) Функция убывает, если её производная отрицательна:
[ k < 0 ] — функция убывает.
Если ( k = 0 ), то функция является константой: ( y = b ), и она ни возрастает, ни убывает.
1) Для доказательства того, что функция y=-x^2+4x на промежутке [2, +бесконечность) убывает, найдем производную этой функции. Производная функции y=-x^2+4x равна y'=-2x+4. Теперь найдем значения производной на данном промежутке: y'(2)=-2*2+4=-4, что меньше нуля. Следовательно, функция убывает на промежутке [2, +бесконечность).
Для доказательства того, что функция y=-x^2+4x на промежутке (-бесконечность, 2] убывает, проделаем те же шаги. Найдем производную функции: y'=-2x+4. Значение производной на промежутке (-бесконечность, 2] равно y'(2)=-4+4=0, что также меньше нуля. Следовательно, функция убывает на промежутке (-бесконечность, 2].
2) Чтобы функция y=kx+b была возрастающей, значение k должно быть положительным (k>0), так как при положительном коэффициенте k функция будет увеличиваться с увеличением x. Для того чтобы функция была убывающей, значение k должно быть отрицательным (k
