1)Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону х(t) в момент t0, если х(t)=t^2+2,...

1) Для нахождения мгновенной скорости точки, движущейся прямолинейно, нужно найти производную функции х(t) по времени t и подставить значение t0=2,5. Итак, х'(t) = 2t, тогда мгновенная скорость v(t) = х'(t) = 2t. Подставляя t=2,5, получаем, что мгновенная скорость точки в момент t=2,5 равна v(2,5) = 2*2,5 = 5.

2) Уравнение касательной к графику функции f(x)=2x^3 в точке с абсциссой x0=-1 можно найти, используя производную функции f(x). Найдем производную: f'(x) = 6x^2. Теперь найдем значение производной в точке x0=-1: f'(-1) = 6*(-1)^2 = 6. Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x)=2x^3, проходящей через точку с абсциссой x0=-1, будет y = 6(x+1) + f(-1).

3) Для нахождения производной функции f(x)=4/x в точке x0=2, воспользуемся определением производной. Производная функции f(x) в точке x0 выражается как предел отношения разности функции f(x) и f(x0) к разности аргументов x и x0 при x стремящемся к x0. Итак, f'(x0) = lim(x->x0) (f(x) - f(x0))/(x-x0) = lim(x->2) (4/x - 4/2)/(x-2) = lim(x->2) (4/x - 2)/(x-2) = 4/(2*2) = 1.

Таким образом, производная функции f(x)=4/x в точке x0=2 равна 1.

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по отдельности.

1) Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону ( x(t) ) в момент ( t_0 ), если ( x(t) = t^2 + 2 ), ( t_0 = 2.5 ).

Мгновенная скорость точки в момент времени ( t_0 ) — это производная функции положения ( x(t) ) по времени ( t ) в этой точке. То есть, нам нужно найти производную ( x'(t) ) и подставить в неё значение ( t_0 = 2.5 ).

Функция положения задана как ( x(t) = t^2 + 2 ).

Находим её производную: [ x'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + 2) = 2t. ]

Теперь подставим ( t_0 = 2.5 ) в производную: [ x'(2.5) = 2 \cdot 2.5 = 5. ]

Таким образом, мгновенная скорость точки в момент времени ( t_0 = 2.5 ) равна 5.

2) Напишите уравнение касательной к графику функции ( f(x) = 2x^3 ), проходящей через точку с абсциссой ( x_0 = -1 ).

Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке ( x_0 ), необходимо знать значение функции в этой точке и значение производной функции в той же точке.

Функция задана как ( f(x) = 2x^3 ).

Находим её производную: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2. ]

Находим значение функции в точке ( x_0 = -1 ): [ f(-1) = 2(-1)^3 = -2. ]

Находим значение производной в точке ( x_0 = -1 ): [ f'(-1) = 6(-1)^2 = 6. ]

Уравнение касательной имеет вид: [ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). ]

Подставляем значения: [ y = -2 + 6(x + 1). ]

Упростим уравнение: [ y = -2 + 6x + 6 = 6x + 4. ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ) будет ( y = 6x + 4 ).

3) Найдите производную функции ( f ) в точке ( x_0 ), пользуясь определением производной: ( f(x) = \frac{4}{x} ), ( x_0 = 2 ).

Определение производной функции в точке ( x_0 ) записывается как: [ f'(x0) = \lim{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}. ]

Для функции ( f(x) = \frac{4}{x} ), мы имеем: [ f(x_0) = f(2) = \frac{4}{2} = 2. ]

Теперь подставим в формулу производной: [ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{4}{2+h} - 2}{h}. ]

Приведём выражение в числителе к общему знаменателю: [ \frac{4}{2+h} - 2 = \frac{4 - 2(2 + h)}{2 + h} = \frac{4 - 4 - 2h}{2 + h} = \frac{-2h}{2 + h}. ]

Теперь подставим в предел: [ f'(2) = \lim{h \to 0} \frac{-2h}{h(2 + h)} = \lim{h \to 0} \frac{-2}{2 + h}. ]

При ( h \to 0 ), получаем: [ f'(2) = \frac{-2}{2} = -1. ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \frac{4}{x} ) в точке ( x_0 = 2 ) равна (-1).