1.Вычислите: 4sin^2 a - 5 cos^2 a, если sin^2 а=2/3; 2. Вычислите: cos(180+60) - cos(90+60) 3. Найдите...

1. Подставим sin^2 a=2/3 в выражение 4sin^2 a - 5cos^2 a: 4(2/3) - 5cos^2 a = 8/3 - 5cos^2 a

2. Раскроем cos(180+60) и cos(90+60): cos(180+60) = cos(240) = -cos(60) = -1/2 cos(90+60) = cos(150) = -sin(30) = -1/2

3. Подставим a=1/корень из 3 в выражение корень из 6(2п+а): корень из 6(2п+1/корень из 3) = корень из 6*2п + корень из 6/корень из 3 = корень из 12п + 2

4. Подставим sinа= -корень из 5/13 в выражение -корень из 26cosа-1/5: -корень из 26*(-корень из 5/13) - 1/5 = корень из 130/13 - 1/5

1. 4sin^2 a - 5 cos^2 a = 4(2/3) - 5(1/3) = 8/3 - 5/3 = 3/3 = 1
2. cos(180+60) - cos(90+60) = -cos(60) - sin(60) = -1/2 - √3/2 = -1 - √3 / 2
3. √6(2π+а) = √6(2π+1/√3) ≈ 10.79
4. -√26 cos(a) - 1/5 = -√26 (-√5/13) - 1/5 = 5√26/13 - 1/5 ≈ -0.15

Давайте поэтапно разберем каждое из заданных выражений.

1. Вычислите: (4\sin^2 a - 5\cos^2 a), если (\sin^2 a = \frac{2}{3}).

Для начала выразим (\cos^2 a) через (\sin^2 a), пользуясь основным тригонометрическим тождеством:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}. ]

Теперь подставим значения в выражение:

[ 4\sin^2 a - 5\cos^2 a = 4 \cdot \frac{2}{3} - 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3}{3} = 1. ]

2. Вычислите: (\cos(180^\circ + 60^\circ) - \cos(90^\circ + 60^\circ)).

Используем формулы для косинуса суммы:

[ \cos(180^\circ + 60^\circ) = \cos 240^\circ = -\frac{1}{2}, ] [ \cos(90^\circ + 60^\circ) = \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Теперь вычислим разность:

[ \cos(180^\circ + 60^\circ) - \cos(90^\circ + 60^\circ) = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}. ]

3. Найдите значение выражения (\sqrt{6(2\pi + a)}), если (a = \frac{1}{\sqrt{3}}), (-\frac{\pi}{2} \leq a \leq \frac{\pi}{2}).

Подставим значение (a) в выражение:

[ \sqrt{6(2\pi + a)} = \sqrt{6\left(2\pi + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}. ]

Для точного вычисления без численных приближений, результат будет:

[ \sqrt{6 \cdot \left(2\pi + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}. ]

4. Найдите значение выражения (-\sqrt{26} \cos a - \frac{1}{5}), если (\sin a = -\frac{\sqrt{5}}{13}), а (a) принадлежит ((-90^\circ, 90^\circ)).

Сначала найдем (\cos a), используя основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \implies \left(-\frac{\sqrt{5}}{13}\right)^2 + \cos^2 a = 1. ]

[ \frac{5}{169} + \cos^2 a = 1 \implies \cos^2 a = 1 - \frac{5}{169} = \frac{164}{169}. ]

Так как угол (a) находится в диапазоне ((-90^\circ, 90^\circ)), где косинус положителен, получаем:

[ \cos a = \frac{\sqrt{164}}{13} = \frac{2\sqrt{41}}{13}. ]

Теперь подставим в выражение:

[ -\sqrt{26} \cos a - \frac{1}{5} = -\sqrt{26} \cdot \frac{2\sqrt{41}}{13} - \frac{1}{5}. ]

Это будет:

[ -\frac{2\sqrt{1066}}{13} - \frac{1}{5}. ]

Таким образом, все выражения рассчитаны.