2 копировальные машины работая одновременно сделали копию пакета документов за 20 мин. За какое время...

Пусть время, за которое одна копировальная машина сделает копию пакета документов, равно x минут. Тогда вторая машина сделает это за (x + 30) минут.

Согласно условию задачи, если обе машины работают одновременно, то они сделают копию за 20 минут. Составим уравнение:

1/x + 1/(x + 30) = 1/20

Умножим обе части уравнения на 20x(x+30), чтобы избавиться от знаменателей:

20(x+30) + 20x = x*(x+30)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

20x + 600 + 20x = x^2 + 30x

40x + 600 = x^2 + 30x

Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:

x^2 + 30x - 40x - 600 = 0

x^2 - 10x - 600 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-10)^2 - 41(-600) = 100 + 2400 = 2500

x1,2 = (10 ± √2500) / 2 = (10 ± 50) / 2

x1 = (10 + 50) / 2 = 60 / 2 = 30

x2 = (10 - 50) / 2 = -40 / 2 = -20

Отрицательное значение не имеет смысла в данной задаче, поэтому x = 30 минут - время, за которое одна машина сделает копию пакета документов.

Таким образом, первая машина сделает копию за 30 минут, а вторая - за 30 + 30 = 60 минут.

Давайте решим задачу, используя уравнения.

Обозначим время, за которое первая копировальная машина может сделать копию пакета документов, через ( x ) минут. Тогда вторая копировальная машина сделает ту же работу за ( x + 30 ) минут, поскольку на 30 минут дольше.

Если первая машина делает всю работу за ( x ) минут, то за одну минуту она выполнит (\frac{1}{x}) часть работы. Аналогично, вторая машина выполнит (\frac{1}{x + 30}) часть работы за одну минуту.

Когда обе машины работают вместе, они делают работу в сумме за 20 минут, что значит, что за одну минуту они выполняют (\frac{1}{20}) часть работы.

Составим уравнение, которое отражает этот факт:

[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 30} = \frac{1}{20} ]

Теперь решим это уравнение.

1. Найдем общий знаменатель и приведем к нему обе дроби:

[ \frac{x + 30 + x}{x(x + 30)} = \frac{1}{20} ]

1. Упростим числитель:

[ \frac{2x + 30}{x(x + 30)} = \frac{1}{20} ]

1. Приведем уравнение к целому виду, умножив обе части на (20x(x + 30)):

[ 20(2x + 30) = x(x + 30) ]

1. Раскроем скобки:

[ 40x + 600 = x^2 + 30x ]

1. Перенесем все в одну сторону уравнения:

[ x^2 + 30x - 40x - 600 = 0 ]

1. Упростим уравнение:

[ x^2 - 10x - 600 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант:

Дискриминант (D) равен:

[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500 ]

1. Найдем корни уравнения:

[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 50}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{10 + 50}{2} = 30 ]

[ x_2 = \frac{10 - 50}{2} = -20 ]

Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем ( x = 30 ).

Таким образом, первая копировальная машина может выполнить работу за 30 минут, а вторая, на 30 минут дольше, за (30 + 30 = 60) минут.