2. Найдите область определения выражения: √(x²-7x-8) Решение: Выражение имеет смысл, если (x²-7x-8)≥0...

(x²-7x-8)≥0

Для начала найдем корни уравнения x²-7x-8=0:

x₁ = (7 + √(7² + 418))/2 = (7 + √57)/2

x₂ = (7 - √(7² + 418))/2 = (7 - √57)/2

Теперь построим знаки выражения (x²-7x-8) на числовой прямой, используя найденные корни:

---(7 - √57)/2---(7 + √57)/2---|

Теперь видим, что выражение (x²-7x-8)≥0, когда x находится вне интервалов (-∞, (7 - √57)/2) и ((7 + √57)/2, +∞). Следовательно, областью определения выражения √(x²-7x-8) является объединение интервалов (-∞, (7 - √57)/2) и ((7 + √57)/2, +∞).

Чтобы найти область определения выражения (\sqrt{x^2 - 7x - 8}), необходимо сначала определить, при каких значениях (x) подкоренное выражение (x^2 - 7x - 8) будет неотрицательным, то есть ((x^2 - 7x - 8) \geq 0).

1. Решение квадратного неравенства:

   Для начала решим уравнение, связанное с неравенством: [ x^2 - 7x - 8 = 0 ] Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 1), (b = -7), (c = -8).

   Подставляя значения, получаем: [ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} ] [ x = \frac{7 \pm 9}{2} ] Таким образом, корни уравнения: [ x_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

2. Определение знаков интервалов:

   Теперь необходимо определить знаки выражения (x^2 - 7x - 8) на интервалах, определённых корнями (-1) и (8). Эти интервалы: ((-\infty, -1)), ((-1, 8)) и ((8, \infty)).

   • Для интервала ((-\infty, -1)), выберем тестовую точку, например, (x = -2): [ (-2)^2 - 7(-2) - 8 = 4 + 14 - 8 = 10 > 0 ]

   • Для интервала ((-1, 8)), выберем тестовую точку, например, (x = 0): [ 0^2 - 7 \cdot 0 - 8 = -8 < 0 ]

   • Для интервала ((8, \infty)), выберем тестовую точку, например, (x = 9): [ 9^2 - 7 \cdot 9 - 8 = 81 - 63 - 8 = 10 > 0 ]

3. Запись области определения:

   Учитывая, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, мы выбираем интервалы, где это условие выполняется, и включаем точки, в которых выражение равно нулю (так как (\sqrt{0} = 0) определено): [ x \in (-\infty, -1] \cup [8, \infty) ]

Таким образом, область определения выражения (\sqrt{x^2 - 7x - 8}) — это множество чисел (x), таких что (x \in (-\infty, -1] \cup [8, \infty)).