2. Найдите область определения выражения: √$x²-7x-8$ Решение: Выражение имеет смысл, если $x²-7x-8$≥0...

$x²-7x-8$≥0

Для начала найдем корни уравнения x²-7x-8=0:

x₁ = (7 + √(7² + 418))/2 = $7+\surd 57$/2

x₂ = (7 - √(7² + 418))/2 = $7-\surd 57$/2

Теперь построим знаки выражения $x²-7x-8$ на числовой прямой, используя найденные корни:

---$7-\surd 57$/2---$7+\surd 57$/2---|

Теперь видим, что выражение $x²-7x-8$≥0, когда x находится вне интервалов $-\infty ,(7-\surd 57$/2) и $(7+\surd 57$/2, +∞). Следовательно, областью определения выражения √$x²-7x-8$ является объединение интервалов $-\infty ,(7-\surd 57$/2) и $(7+\surd 57$/2, +∞).

Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{x^2-7x-8}$, необходимо сначала определить, при каких значениях $x$ подкоренное выражение $x^2-7x-8$ будет неотрицательным, то есть $(x^2-7x-8$ \geq 0).

1. Решение квадратного неравенства:

   Для начала решим уравнение, связанное с неравенством: $x^2-7x-8=0$ Для этого можно использовать формулу корней квадратного уравнения: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ где $a=1$, $b=-7$, $c=-8$.

   Подставляя значения, получаем: $x=\frac{-(-7)\pm \sqrt{(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\frac{7\pm \sqrt{49+32}}{2}=\frac{7\pm \sqrt{81}}{2}$ $x=\frac{7\pm 9}{2}$ Таким образом, корни уравнения: $x_1=\frac{16}{2}=8,x_2=\frac{-2}{2}=-1$

2. Определение знаков интервалов:

   Теперь необходимо определить знаки выражения $x^2-7x-8$ на интервалах, определённых корнями $-1$ и $8$. Эти интервалы: $(-\mathrm{\infty },-1$), $(-1,8$) и $(8,\mathrm{\infty }$).

   • Для интервала $(-\mathrm{\infty },-1$), выберем тестовую точку, например, $x=-2$: $(-2{)}^2-7(-2)-8=4+14-8=10>0$

   • Для интервала $(-1,8$), выберем тестовую точку, например, $x=0$: $0^2-7\cdot 0-8=-8<0$

   • Для интервала $(8,\mathrm{\infty }$), выберем тестовую точку, например, $x=9$: $9^2-7\cdot 9-8=81-63-8=10>0$

3. Запись области определения:

   Учитывая, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, мы выбираем интервалы, где это условие выполняется, и включаем точки, в которых выражение равно нулю $таккак(\sqrt{0}=0$ определено): $x\in (-\mathrm{\infty },-1$ \cup $8,\mathrm{\infty })$

Таким образом, область определения выражения $\sqrt{x^2-7x-8}$ — это множество чисел $x$, таких что $x\in (-\mathrm{\infty },-1]\cup [8,\mathrm{\infty }$).