- Решите уравнение : а) sin t = корень из 2/2 б) cos t = − 1/2
а) Для решения уравнения sin t = корень из 2/2 необходимо найти все значения угла t, для которых sin t равен корню из 2/2. Так как sin t = корень из 2/2, то можно заметить, что это соответствует значению угла t равному 45 градусам или π/4 радиан. Таким образом, решение уравнения sin t = корень из 2/2 имеет вид t = π/4 + 2πn, где n - целое число.
б) Для решения уравнения cos t = − 1/2 необходимо найти все значения угла t, для которых cos t равен − 1/2. Это соответствует значениям угла t равным 120 градусам или 2π/3 радиан. Таким образом, решение уравнения cos t = − 1/2 имеет вид t = 2π/3 + 2πn, где n - целое число.
а) t = π/4 + 2πn, t = 3π/4 + 2πn б) t = 2π/3 + 2πn, t = 4π/3 + 2πn, где n - целое число
Для решения данных уравнений используем основные свойства и значения тригонометрических функций.
а) Решим уравнение: [ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} ]
Значение (\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}) достигается при углах, которые соответствуют (45^\circ) (или (\frac{\pi}{4}) радиан) и (135^\circ) (или (\frac{3\pi}{4}) радиан). Учитывая периодичность синуса, который равен (2\pi), общее решение уравнения можно записать как: [ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, ] где (k) — любое целое число.
б) Решим уравнение: [ \cos t = -\frac{1}{2} ]
Значение (\cos t = -\frac{1}{2}) достигается при углах, соответствующих (120^\circ) (или (\frac{2\pi}{3}) радиан) и (240^\circ) (или (\frac{4\pi}{3}) радиан). Учитывая периодичность косинуса, равную (2\pi), общее решение уравнения можно записать как: [ t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad t = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, ] где (k) — любое целое число.
Таким образом, оба уравнения имеют решения в виде серий углов, которые могут быть выражены через добавление к основным углам кратных полных оборотов (2\pi) с любым целым коэффициентом (k).
