20 баллов Решите систему уравнений: { x-y=7 { x^2+y^2=9-2xy

Рассмотрим систему уравнений:

1) ( x - y = 7 )
2) ( x^2 + y^2 = 9 - 2xy ).

Шаг 1: Выразим ( x ) через ( y ) из первого уравнения

Из первого уравнения ( x - y = 7 ), выразим ( x ): [ x = y + 7. ]

Шаг 2: Подставим ( x = y + 7 ) во второе уравнение

Подставим ( x = y + 7 ) в ( x^2 + y^2 = 9 - 2xy ): [ (x)^2 + y^2 = 9 - 2xy. ] Замена ( x ) даёт: [ (y + 7)^2 + y^2 = 9 - 2(y + 7)y. ]

Раскроем скобки: [ (y + 7)^2 = y^2 + 14y + 49. ] Подставим это в уравнение: [ (y^2 + 14y + 49) + y^2 = 9 - 2(y^2 + 7y). ]

Упростим левую и правую части: [ 2y^2 + 14y + 49 = 9 - 2y^2 - 14y. ]

Шаг 3: Перенесём всё в одну сторону

[ 2y^2 + 14y + 49 + 2y^2 + 14y - 9 = 0. ]

Соберём подобные слагаемые: [ 4y^2 + 28y + 40 = 0. ]

Шаг 4: Упростим уравнение

Разделим всё на 4: [ y^2 + 7y + 10 = 0. ]

Это квадратное уравнение. Решим его через разложение на множители: [ y^2 + 7y + 10 = (y + 5)(y + 2) = 0. ]

Отсюда: [ y = -5 \quad \text{или} \quad y = -2. ]

Шаг 5: Найдём ( x ) для каждого значения ( y )

Используем уравнение ( x = y + 7 ):

1) Если ( y = -5 ), то ( x = -5 + 7 = 2 ).

2) Если ( y = -2 ), то ( x = -2 + 7 = 5 ).

Ответ:

Система имеет два решения: [ (x, y) = (2, -5) \quad \text{и} \quad (x, y) = (5, -2). ]

Для решения системы уравнений:

[ \begin{cases} x - y = 7 \ x^2 + y^2 = 9 - 2xy \end{cases} ]

начнем с первого уравнения. Из него можем выразить ( x ) через ( y ):

[ x = y + 7 ]

Теперь подставим это значение ( x ) во второе уравнение:

[ x^2 + y^2 = 9 - 2xy ]

Подставляем ( x = y + 7 ):

[ (y + 7)^2 + y^2 = 9 - 2(y + 7)y ]

Теперь раскроем скобки:

[ (y^2 + 14y + 49) + y^2 = 9 - 2(y^2 + 7y) ]

Соберем все в одно уравнение:

[ 2y^2 + 14y + 49 = 9 - 2y^2 - 14y ]

Теперь перенесем все выражения в одну сторону:

[ 2y^2 + 14y + 49 + 2y^2 + 14y - 9 = 0 ]

Объединим подобные члены:

[ 4y^2 + 28y + 40 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 4:

[ y^2 + 7y + 10 = 0 ]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня. Найдем их:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 3}{2} ]

Теперь вычислим корни:

1. ( y_1 = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 )
2. ( y_2 = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 )

Теперь мы знаем два значения для ( y ). Найдем соответствующие значения ( x ):

Для ( y_1 = -2 ):

[ x_1 = y_1 + 7 = -2 + 7 = 5 ]

Для ( y_2 = -5 ):

[ x_2 = y_2 + 7 = -5 + 7 = 2 ]

Таким образом, мы получили два решения для нашей системы уравнений:

1. ( (x_1, y_1) = (5, -2) )
2. ( (x_2, y_2) = (2, -5) )

Теперь можно записать окончательный ответ:

[ (x, y) = (5, -2) \quad \text{и} \quad (2, -5) ]