22(sin²72°-cos²72°)/cos144°

Для начала, найдем значение sin²72° и cos²72°.

Используя формулу синуса и косинуса угла суммы, мы можем найти sin²72° и cos²72°:

sin²72° = (1 - cos(2 72°))/2 = (1 - cos144°)/2 cos²72° = (1 + cos(2 72°))/2 = (1 + cos144°)/2

Теперь можем подставить найденные значения sin²72° и cos²72° в формулу:

(22((1 - cos144°)/2 - (1 + cos144°)/2))/cos144° = (22(-2cos144°))/2cos144° = -22

Итак, ответ на выражение 22(sin²72°-cos²72°)/cos144° равен -22.

Для решения выражения ( \frac{22(\sin^2 72^\circ - \cos^2 72^\circ)}{\cos 144^\circ} ) давайте разберем все составляющие по отдельности.

1. Используем формулы тригонометрии:

   • Мы знаем, что (\cos 144^\circ = \cos(180^\circ - 36^\circ) = -\cos 36^\circ).
   • Также (\sin^2 72^\circ - \cos^2 72^\circ) можно упростить, используя тригонометрические тождества.

2. Упрощение (\sin^2 72^\circ - \cos^2 72^\circ):

   • Воспользуемся формулой разности квадратов тригонометрических функций: [ \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x ] В нашем случае ( x = 72^\circ ), поэтому: [ \sin^2 72^\circ - \cos^2 72^\circ = -\cos(2 \cdot 72^\circ) = -\cos 144^\circ ]

3. Подставляем (\cos 144^\circ):

   • Как указано ранее, (\cos 144^\circ = -\cos 36^\circ). Следовательно: [ \sin^2 72^\circ - \cos^2 72^\circ = -(-\cos 36^\circ) = \cos 36^\circ ]

4. Вычисляем выражение:

   • Подставим (\cos 144^\circ = -\cos 36^\circ) и (\sin^2 72^\circ - \cos^2 72^\circ = \cos 36^\circ) в исходное выражение: [ \frac{22(\sin^2 72^\circ - \cos^2 72^\circ)}{\cos 144^\circ} = \frac{22 \cos 36^\circ}{-\cos 36^\circ} ]

5. Сокращаем:

   • (\cos 36^\circ) сокращается в числителе и знаменателе: [ \frac{22 \cos 36^\circ}{-\cos 36^\circ} = 22 \cdot (-1) = -22 ]

Таким образом, значение выражения равно (-22).