2sin (п/3-х/4)=корень из 3

Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества.

Исходное уравнение: 2sin(π/3 - x/4) = √3

Используем формулу разности синусов: sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Подставляем значения a = π/3 и b = x/4: 2(sin(π/3)cos(x/4) - cos(π/3)sin(x/4)) = √3

sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2, sin(x/4) = sin(x/4), cos(x/4) = cos(x/4)

2(√3/2 cos(x/4) - 1/2 sin(x/4)) = √3 √3 cos(x/4) - sin(x/4) = √3/2 √3 cos(x/4) - sin(x/4) = sin(π/3)

Теперь используем формулу сложения синусов: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Получаем: sin(π/3) = √3/2 = cos(π/6)sin(x/4) + sin(π/6)cos(x/4) √3/2 = (√3/2)cos(x/4) + (1/2)sin(x/4)

Решая данное уравнение, мы найдем значение x, которое удовлетворяет исходному условию.

Конечно, давай разберём это уравнение подробно.

Уравнение, которое у нас имеется, выглядит следующим образом: [ 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3} ]

1. Приводим уравнение к стандартному виду: Для начала разделим обе части уравнения на 2: [ \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

2. Вспомним значения синуса: Знаем, что (\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}). Это стандартное значение синуса, которое следует из тригонометрической таблицы для угла (\frac{\pi}{3}).

3. Рассмотрим уравнение синуса: У нас есть уравнение вида (\sin \alpha = \sin \beta). Решение этого уравнения будет иметь вид: [ \alpha = \beta + 2k\pi \quad \text{или} \quad \alpha = \pi - \beta + 2k\pi ] где (k) — любое целое число.

4. Применим это к нашему уравнению: В нашем случае: [ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

   Решим каждое уравнение отдельно:

   Первое уравнение: [ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] Упрощаем: [ -\frac{x}{4} = 2k\pi ] Умножим обе части на -4: [ x = -8k\pi ]

   Второе уравнение: [ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] Преобразуем правую часть: [ \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} ] Значит: [ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ] Переносим (\frac{\pi}{3}) в правую часть: [ -\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi - \frac{\pi}{3} ] Приведем к общему знаменателю: [ -\frac{x}{4} = \frac{2\pi - \pi}{3} + 2k\pi = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] Умножим обе части на -4: [ x = -4\left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\right) ] Упростим: [ x = -\frac{4\pi}{3} - 8k\pi ]

5. Объединяем решения: Таким образом, решения уравнения: [ x = -8k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{4\pi}{3} - 8k\pi ] где (k) — любое целое число.

Итак, мы получили два семейства решений для исходного уравнения.