2sin x/2=1-cos x решите уравнение

sin(x/2) = 1 - cos(x) sin(x/2) = sin^2(x/2) sin(x/2) = 1 - sin^2(x/2) 2sin(x/2) = 1 sin(x/2) = 1/2 x/2 = π/6 + 2πn, x/2 = 5π/6 + 2πn x = π/3 + 4πn, x = 5π/3 + 4πn

Рассмотрим уравнение:

[ 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \cos(x) ]

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

1. Поскольку (\cos(x) = 1 - 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)), можем переписать уравнение следующим образом:

   [ 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - (1 - 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)) ]

   Упростим правую часть:

   [ 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - 1 + 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) ]

   [ 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 2 \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) ]

2. Разделим обе части уравнения на 2 (при (\sin\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0)):

   [ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) ]

3. Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

   [ \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 ]

   Вынесем (\sin\left(\frac{x}{2}\right)) за скобку:

   [ \sin\left(\frac{x}{2}\right) (\sin\left(\frac{x}{2}\right) - 1) = 0 ]

Теперь у нас два множителя, произведение которых равно нулю. Значит, один из множителей должен быть равен нулю:

[ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 ]

или

[ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1 ]

1. Рассмотрим каждое из этих уравнений отдельно.

   (\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0):

   [ \frac{x}{2} = k\pi ] [ x = 2k\pi ]

   где (k) — любое целое число.

   (\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 1):

   [ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2m\pi ] [ x = \pi + 4m\pi ] [ x = \pi(1 + 4m) ]

   где (m) — любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

[ x = 2k\pi ]

или

[ x = \pi(1 + 4m) ]

где (k) и (m) — любые целые числа.

Таким образом, мы нашли все значения (x), которые удовлетворяют исходному уравнению.

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более удобному виду.

У нас дано уравнение 2sin(x/2) = 1 - cos(x). Заметим, что sin(x/2) = 2sin(x/2)cos(x/2), следовательно, мы можем переписать уравнение следующим образом: 2sin(x/2) = 2sin(x/2)cos(x/2) - cos(x).

Теперь приведем все к одной стороне уравнения, чтобы получить уравнение в виде 0 = 2sin(x/2)cos(x/2) - 2sin(x/2) - cos(x).

Далее факторизуем уравнение: 0 = 2sin(x/2)(cos(x/2) - 1) - cos(x).

Заметим, что cos(x/2) - 1 = -2sin^2(x/2), поэтому уравнение примет вид: 0 = -4sin(x/2)(sin(x/2) + 1) - cos(x).

Теперь мы можем заменить sin(x/2) на t, чтобы получить уравнение вида: 0 = -4t(t + 1) - cos(2t).

Теперь можем решить данное уравнение, найдя корни t и затем обратно подставив sin(x/2) вместо t.