2x²-4xy+4y² докажите что выражение может принимать только неотрицательные значения

Чтобы доказать, что выражение ( 2x^2 - 4xy + 4y^2 ) принимает только неотрицательные значения, мы можем переписать его в виде полного квадрата или показать, что оно всегда больше или равно нулю.

Рассмотрим выражение:

[ 2x^2 - 4xy + 4y^2. ]

Попробуем преобразовать его. Заметим, что можно выделить из него полный квадрат. Для этого перепишем выражение следующим образом:

[ 2x^2 - 4xy + 4y^2 = 2(x^2 - 2xy + 2y^2). ]

Теперь сосредоточимся на выражении в скобках: ( x^2 - 2xy + 2y^2 ).

Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем подходящее выражение. Заметим, что:

[ x^2 - 2xy = (x - y)^2 - y^2. ]

Таким образом, наше выражение становится:

[ x^2 - 2xy + 2y^2 = (x - y)^2 + y^2. ]

Теперь вернемся к исходному выражению:

[ 2(x^2 - 2xy + 2y^2) = 2((x - y)^2 + y^2). ]

Раскроем скобки:

[ 2((x - y)^2 + y^2) = 2(x - y)^2 + 2y^2. ]

Обе части этого выражения, ( 2(x - y)^2 ) и ( 2y^2 ), представляют собой удвоенные квадраты, которые всегда неотрицательны, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна.

Таким образом, выражение ( 2x^2 - 4xy + 4y^2 ) всегда принимает неотрицательные значения.

Для доказательства того, что выражение 2x² - 4xy + 4y² может принимать только неотрицательные значения, можно воспользоваться методом квадратного трёхчлена.

Выражение 2x² - 4xy + 4y² можно представить в виде квадрата суммы двух выражений: (x - 2y)².

Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен (он либо равен нулю, либо больше нуля), то и выражение (x - 2y)² также будет неотрицательным.

Таким образом, выражение 2x² - 4xy + 4y² всегда будет неотрицательным, так как оно эквивалентно квадрату суммы двух выражений.