3. Вычислите f' (π/4), если f(x)=3cos(x)+4x2−2πx+5;

Чтобы найти производную функции ( f(x) = 3\cos(x) + 4x^2 - 2\pi x + 5 ), сначала вычислим её производную:

[ f'(x) = -3\sin(x) + 8x - 2\pi ]

Теперь подставим ( x = \frac{\pi}{4} ):

[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 8\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\pi ]

Зная, что ( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), подставляем:

[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi - 2\pi ]

Упрощаем:

[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} ]

Итак, ответ:

[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} ]

Для того чтобы найти производную функции ( f(x) = 3\cos(x) + 4x^2 - 2\pi x + 5 ) и вычислить её значение в точке ( x = \frac{\pi}{4} ), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Найдём производную функции ( f(x) ).

Производная ( f'(x) ) вычисляется с использованием стандартных правил дифференцирования:

1. Производная от ( \cos(x) ): ((\cos(x))' = -\sin(x)).
2. Производная от ( 4x^2 ): ((4x^2)' = 8x).
3. Производная от ( -2\pi x ): ((-2\pi x)' = -2\pi).
4. Производная от константы ( 5 ): ((5)' = 0).

Суммируем все эти производные:

[ f'(x) = \frac{d}{dx} \big( 3\cos(x) + 4x^2 - 2\pi x + 5 \big) = 3(-\sin(x)) + 8x - 2\pi + 0. ]

Упрощаем:

[ f'(x) = -3\sin(x) + 8x - 2\pi. ]

Шаг 2. Подставим ( x = \frac{\pi}{4} ) в ( f'(x) ).

Теперь, чтобы найти ( f'(\pi/4) ), подставим ( x = \frac{\pi}{4} ) в производную ( f'(x) = -3\sin(x) + 8x - 2\pi ).

1. Вычислим ( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) ): [ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

2. Подставим ( x = \frac{\pi}{4} ) в ( f'(x) ): [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 8\cdot\frac{\pi}{4} - 2\pi. ]

3. Подставим значения: [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + 8\cdot\frac{\pi}{4} - 2\pi. ]

4. Упростим выражение: [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + 2\pi - 2\pi. ]

Сократим ( 2\pi - 2\pi ): [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}. ]

Ответ:

[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}. ]

Чтобы вычислить производную функции ( f(x) = 3\cos(x) + 4x^2 - 2\pi x + 5 ) и затем подставить в неё значение ( x = \frac{\pi}{4} ), сначала найдем производную ( f'(x) ).

1. Найдем производную каждого члена функции:

   • Производная ( 3\cos(x) ): [ \frac{d}{dx}[3\cos(x)] = -3\sin(x) ]

   • Производная ( 4x^2 ): [ \frac{d}{dx}[4x^2] = 8x ]

   • Производная ( -2\pi x ): [ \frac{d}{dx}[-2\pi x] = -2\pi ]

   • Производная константы ( 5 ): [ \frac{d}{dx}[5] = 0 ]

2. Сложим все производные: Теперь объединим все полученные производные: [ f'(x) = -3\sin(x) + 8x - 2\pi ]

3. Подставим значение ( x = \frac{\pi}{4} ) в производную: Теперь мы можем подставить ( x = \frac{\pi}{4} ) в выражение для производной: [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 8\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\pi ]

   Зная, что ( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), подставим это значение: [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 8 \cdot \frac{\pi}{4} - 2\pi ]

   Упростим: [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + 2\pi - 2\pi ] [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} ]