3cos^2x-5cosx-8=0 помогите пожалуйста решить
3cos^2x-5cosx-8=0 помогите пожалуйста решить
Для решения данного уравнения воспользуемся методом замены переменной. Обозначим cosx = t. Тогда уравнение примет вид:
3t^2 - 5t - 8 = 0
Далее решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
D = (-5)^2 - 43(-8) = 25 + 96 = 121
t1,2 = (5 +- √121) / 6 = (5 +- 11) / 6
t1 = 16 / 6 = 8 / 3 t2 = -6 / 6 = -1
Таким образом, получаем два значения t1 = 8 / 3 и t2 = -1. Теперь найдем значения cosx, используя найденные значения t:
cosx1 = 8 / 3, cosx2 = -1
Таким образом, корни уравнения 3cos^2x-5cosx-8=0 равны cosx1 = 8 / 3 и cosx2 = -1.
Конечно, давайте решим уравнение (3\cos^2x - 5\cosx - 8 = 0).
Это квадратное уравнение относительно (\cos x). Для решения введем замену: пусть (y = \cos x). Тогда уравнение примет вид:
[3y^2 - 5y - 8 = 0.]
Это стандартное квадратное уравнение вида (ay^2 + by + c = 0), где (a = 3), (b = -5), (c = -8). Решим его с помощью дискриминанта (D):
[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8).]
Вычислим дискриминант:
[D = 25 + 96 = 121.]
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их по формуле:
[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]
Подставим известные значения:
[y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{6}.]
Так как (\sqrt{121} = 11), то получаем:
[y_1 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3},] [y_2 = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1.]
Таким образом, у нас есть два значения для (y): (y_1 = \frac{8}{3}) и (y_2 = -1).
Теперь вернемся к (\cos x):
(\cos x = \frac{8}{3}). Этот корень не имеет смысла, так как значение косинуса может находиться только в пределах от -1 до 1.
(\cos x = -1). Это значение допустимо.
Для (\cos x = -1), значение угла (x) равно (\pi + 2k\pi), где (k) — любое целое число, так как косинус равен -1 в точке (\pi) и повторяется с периодом (2\pi).
Таким образом, решение уравнения:
[x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.]
Для решения уравнения 3cos^2x-5cosx-8=0 можно воспользоваться методом подстановки. Пусть t=cosx, тогда уравнение примет вид 3t^2-5t-8=0. Решив квадратное уравнение, найдем значения t и затем найдем соответствующие значения x.
