4) Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру...

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальную вероятность, поскольку каждое бросание монеты — это независимое событие, и у нас есть фиксированное количество испытаний (3 матча).

Пусть ( p ) — вероятность того, что команда «Физик» выиграет жребий в одном матче. Так как монета, предположительно, симметричная, то ( p = \frac{1}{2} ).

Нам нужно найти вероятность того, что команда «Физик» выиграет жребий ровно два раза из трех. Если обозначить ( X ) как случайную переменную, описывающую количество выигрышей команды в жребии, то ( X ) имеет биномиальное распределение с параметрами ( n = 3 ) (количество матчей) и ( p = \frac{1}{2} ).

Вероятность того, что событие произойдет ровно ( k ) раз в ( n ) независимых испытаниях, даётся формулой биномиального распределения: [ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, ] где ( C_n^k ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ), которое вычисляется как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).

Подставим ( n = 3 ), ( k = 2 ), и ( p = \frac{1}{2} ) в формулу: [ P(X = 2) = C_3^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{3-2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1. ] [ P(X = 2) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}. ]

Таким образом, вероятность того, что команда «Физик» выиграет жребий ровно два раза из трех матчей, составляет ( \frac{3}{8} ).

Для того чтобы найти вероятность того, что команда "Физик" выиграет жребий ровно два раза из трех, мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения.

В данном случае, вероятность выигрыша жребия для команды "Физик" равна 0.5 (так как монета бросается, а значит вероятность выпадения орла или решки равна 0.5).

Теперь можем использовать формулу биномиального распределения:

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

где: P(X=k) - вероятность того, что команда "Физик" выиграет жребий k раз C(n,k) - число сочетаний из n по k p - вероятность выигрыша жребия для команды "Физик" (0.5) n - общее количество испытаний (3) k - количество успехов (2)

Подставляем значения:

P(X=2) = C(3,2) 0.5^2 (1-0.5)^(3-2) P(X=2) = 3 0.25 0.5 P(X=2) = 0.375

Таким образом, вероятность того, что команда "Физик" выиграет жребий ровно два раза из трех, равна 0.375 или 37.5%.