43+(плюс)30 корней из 2 - все это под корнем +(плюс) 43-(минус)30 корней из 2 - тоже под корнем

Чтобы упростить выражение ( \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} ), начнем с упрощения каждого из корней.

1. Упрощение первого корня: ( \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} )

   Мы можем попытаться представить это выражение в виде ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ). Пусть: [ \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} ] Тогда, возведя обе стороны в квадрат, получим: [ 43 + 30\sqrt{2} = a + b + 2\sqrt{ab} ] Сравнивая рациональные и иррациональные части, получаем систему уравнений: [ a + b = 43 \quad \text{(1)} ] [ 2\sqrt{ab} = 30\sqrt{2} \quad \text{(2)} ] Из уравнения (2) выразим ( ab ): [ \sqrt{ab} = 15\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad ab = 450 ]

   Теперь у нас есть система уравнений: [ a + b = 43 ] [ ab = 450 ] Это система можно решить, подставив ( b = 43 - a ) в второе уравнение: [ a(43 - a) = 450 ] [ 43a - a^2 = 450 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 43a + 450 = 0 ] Решим это квадратное уравнение по формуле: [ a = \frac{43 \pm \sqrt{43^2 - 4 \cdot 450}}{2} ] [ a = \frac{43 \pm \sqrt{1849 - 1800}}{2} ] [ a = \frac{43 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{43 \pm 7}{2} ] Таким образом, получаем два значения: [ a_1 = \frac{50}{2} = 25, \quad a_2 = \frac{36}{2} = 18 ] Следовательно, ( b_1 = 18 ) и ( b_2 = 25 ).

   Теперь можем записать: [ \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} = \sqrt{25} + \sqrt{18} = 5 + 3\sqrt{2} ]

2. Упрощение второго корня: ( \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} )

   Аналогично, принимаем: [ \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} ] Используя ту же систему уравнений, мы можем заметить, что ( a + b = 43 ) и ( ab = 450 ) остаются теми же. Но теперь мы можем использовать те же значения ( a ) и ( b ): [ \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} = \sqrt{25} - \sqrt{18} = 5 - 3\sqrt{2} ]

3. Сложение корней:

Теперь, подставляя оба результата в исходное выражение: [ \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} = (5 + 3\sqrt{2}) + (5 - 3\sqrt{2}) = 10 ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} = 10 ]

Давайте разберем ваш вопрос подробно:
Нам нужно вычислить следующее выражение:

[ \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}}. ]

Шаг 1. Введение

На первый взгляд это выражение выглядит сложным, но его можно упростить с помощью подхода к работе с представлениями чисел под корнем. Заметим, что подкоренные выражения имеют сходную структуру: ( 43 + 30\sqrt{2} ) и ( 43 - 30\sqrt{2} ). Это намекает на возможность использования симметрии.

Шаг 2. Проверка суммы и произведения подкоренных выражений

Обозначим: [ a = \sqrt{43 + 30\sqrt{2}}, \quad b = \sqrt{43 - 30\sqrt{2}}. ] Тогда нам нужно вычислить ( a + b ).

Сумма:

Полное выражение под корнями ( a^2 + b^2 ) равно: [ a^2 + b^2 = (43 + 30\sqrt{2}) + (43 - 30\sqrt{2}) = 43 + 43 = 86. ]

Произведение:

Произведение ( a^2 \cdot b^2 ) равно: [ a^2 \cdot b^2 = (43 + 30\sqrt{2})(43 - 30\sqrt{2}) = 43^2 - (30\sqrt{2})^2. ] Рассчитаем: [ 43^2 = 1849, \quad (30\sqrt{2})^2 = 30^2 \cdot 2 = 900 \cdot 2 = 1800. ] Тогда: [ a^2 \cdot b^2 = 1849 - 1800 = 49. ] Следовательно: [ ab = \sqrt{49} = 7. ]

Шаг 3. Использование суммы и произведения

Теперь вспомним стандартное выражение для суммы корней квадратного уравнения. Если ( a ) и ( b ) являются корнями уравнения вида ( x^2 - Sx + P = 0 ), то: [ S = a + b, \quad P = ab. ] В нашем случае: [ S = a + b, \quad P = 7. ] Также известно, что: [ a^2 + b^2 = 86. ] Вспомним полезную формулу: [ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. ] Подставим значения: [ (a + b)^2 = 86 + 2 \cdot 7 = 86 + 14 = 100. ] Тогда: [ a + b = \sqrt{100} = 10. ]

Ответ:

[ \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 - 30\sqrt{2}} = 10. ]