4*sinx2x*sin5x*sin7x-sin4x=0

Рассмотрим уравнение ( 4 \sin(2x) \sin(5x) \sin(7x) - \sin(4x) = 0 ).

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Первым делом рассмотрим левые множители:

1. Упрощение левой части:

   Уравнение можно переписать как: [ 4 \sin(2x) \sin(5x) \sin(7x) = \sin(4x) ]

2. Использование тригонометрических тождеств:

   Для упрощения произведения синусов, можно использовать тождество произведения: [ \sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] ]

   Применим его к произведению (\sin(5x) \sin(7x)): [ \sin(5x) \sin(7x) = \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(12x)] ]

   Подставим это в уравнение: [ 4 \sin(2x) \cdot \frac{1}{2} [\cos(2x) - \cos(12x)] = \sin(4x) ]

   Упростим: [ 2 \sin(2x) [\cos(2x) - \cos(12x)] = \sin(4x) ]

   Раскроем скобки: [ 2 \sin(2x) \cos(2x) - 2 \sin(2x) \cos(12x) = \sin(4x) ]

3. Использование тождества для (\sin(2A)):

   Используем тождество (\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)), чтобы упростить (2 \sin(2x) \cos(2x)): [ \sin(4x) - 2 \sin(2x) \cos(12x) = \sin(4x) ]

   Отсюда: [ -2 \sin(2x) \cos(12x) = 0 ]

4. Решение полученного уравнения:

   Уравнение будет равно нулю, если: [ \sin(2x) = 0 \quad \text{или} \quad \cos(12x) = 0 ]

   • Для (\sin(2x) = 0), мы имеем: [ 2x = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi n}{2} ] где (n) — целое число.

   • Для (\cos(12x) = 0), мы имеем: [ 12x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{12} ] где (k) — целое число.

Таким образом, решениями уравнения являются: [ x = \frac{\pi n}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{12} ] где (n) и (k) — целые числа.

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его к более удобному виду. Раскроем произведение синусов с помощью формулы произведения синусов: sin(a)sin(b) = 1/2(cos(a-b)-cos(a+b)).

4sin2xsin5xsin7x - sin4x = 0 2(2sin2xsin5xsin7x) - sin4x = 0 2(cos(3x) - cos(7x)) - sin4x = 0 2cos(3x) - 2cos(7x) - sin4x = 0

Теперь воспользуемся формулой синуса разности для sin(4x): sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) 2cos(3x) - 2cos(7x) - 2sin(4x)cos(x) = 0 2cos(3x) - 2cos(7x) - 2sin(4x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение 2cos(3x) - 2cos(7x) - 2sin(4x)cos(x) = 0. Далее, для решения этого уравнения, потребуется использовать методы решения уравнений с тригонометрическими функциями, такие как метод замены переменной или применение тригонометрических тождеств.