50! составить уравнение касательной к у=ln2x которая проходит через начало координат

Чтобы составить уравнение касательной к функции (y = \ln(2x)), которая проходит через начало координат ((0, 0)), разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1. Уравнение касательной

Касательная к функции (y = \ln(2x)) в точке (x_0 > 0) будет иметь уравнение вида: [ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0), ] где (f(x) = \ln(2x)) и (f'(x)) — производная функции.

Шаг 2. Найдем производную функции (y = \ln(2x))

Вспомним, что производная функции (y = \ln(u)), где (u = u(x)), равна: [ \frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u'. ] Для (y = \ln(2x)), где (u = 2x), производная будет: [ f'(x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}. ]

Шаг 3. Подставим производную в уравнение касательной

Уравнение касательной в точке (x_0) теперь принимает вид: [ y = \frac{1}{x_0}(x - x_0) + \ln(2x_0). ] Упростим: [ y = \frac{x}{x_0} - 1 + \ln(2x_0). ]

Шаг 4. Касательная проходит через начало координат

По условию задачи, касательная проходит через точку ((0, 0)). Подставим (x = 0) и (y = 0) в уравнение касательной: [ 0 = \frac{0}{x_0} - 1 + \ln(2x_0). ] Упростим: [ 0 = -1 + \ln(2x_0). ] [ \ln(2x_0) = 1. ]

Шаг 5. Решим уравнение (\ln(2x_0) = 1)

Напомним, что (\ln(a) = b \implies a = e^b). Следовательно: [ 2x_0 = e^1 = e. ] [ x_0 = \frac{e}{2}. ]

Шаг 6. Уравнение касательной

Теперь мы знаем, что касательная проходит через точку (x_0 = \frac{e}{2}). Подставим (x_0 = \frac{e}{2}) в общее уравнение касательной: [ y = \frac{1}{x_0}(x - x_0) + \ln(2x_0). ] Подставим (x_0 = \frac{e}{2}): [ y = \frac{1}{\frac{e}{2}}(x - \frac{e}{2}) + \ln(e). ] Упростим: [ y = \frac{2}{e}\left(x - \frac{e}{2}\right) + 1. ] [ y = \frac{2}{e}x - \frac{2}{e} \cdot \frac{e}{2} + 1. ] [ y = \frac{2}{e}x - 1 + 1. ] [ y = \frac{2}{e}x. ]

Ответ

Уравнение касательной к функции (y = \ln(2x)), которая проходит через начало координат, имеет вид: [ y = \frac{2}{e}x. ]

Чтобы найти уравнение касательной к кривой ( y = \ln(2x) ), которая проходит через начало координат, сначала найдем производную функции:

1. Найдем производную ( y' ): [ y' = \frac{d}{dx} \ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x} ]

2. Теперь подставим точку ( x = a ) в производную, чтобы найти угол наклона касательной: [ y'|_{x=a} = \frac{1}{a} ]

3. Уравнение касательной в точке ( (a, \ln(2a)) ): [ y - \ln(2a) = \frac{1}{a}(x - a) ]

4. Заменим ( y ) на ( 0 ) и ( x ) на ( 0 ) (так как касательная проходит через начало координат): [ 0 - \ln(2a) = \frac{1}{a}(0 - a) ]

5. Упростим уравнение: [ -\ln(2a) = -1 \implies \ln(2a) = 1 ]

6. Экспоненцируем обе стороны: [ 2a = e \implies a = \frac{e}{2} ]

7. Теперь подставим значение ( a ) обратно в уравнение касательной: [ y - \ln\left(2 \cdot \frac{e}{2}\right) = \frac{1}{\frac{e}{2}} \left(x - \frac{e}{2}\right) ] [ y - 1 = \frac{2}{e}(x - \frac{e}{2}) ]

8. Упростим окончательно: [ y = \frac{2}{e}x + 1 - 1 = \frac{2}{e}x ]

Таким образом, уравнение касательной, проходящей через начало координат, равно: [ y = \frac{2}{e}x ]

Чтобы найти уравнение касательной к функции ( y = \ln(2x) ), которая проходит через начало координат, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции.

   Функция ( y = \ln(2x) ) может быть переписана как ( y = \ln(2) + \ln(x) ). Производная этой функции по ( x ) равна:

   [ y' = \frac{d}{dx}(\ln(2x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x} ]

2. Найдем значение производной в точке касания.

   Пусть точка касания имеет координаты ( (a, \ln(2a)) ). В этой точке производная будет равна:

   [ y'|_{x=a} = \frac{1}{a} ]

3. Составим уравнение касательной.

   Уравнение касательной к графику функции в точке ( (a, \ln(2a)) ) имеет вид:

   [ y - \ln(2a) = \frac{1}{a}(x - a) ]

   Упрощая это уравнение, получаем:

   [ y = \frac{1}{a}x - \frac{1}{a}a + \ln(2a) = \frac{1}{a}x + \ln(2a) - 1 ]

4. Убедимся, что касательная проходит через начало координат.

   Чтобы касательная проходила через начало координат, подставим ( x = 0 ) и ( y = 0 ) в уравнение касательной:

   [ 0 = \frac{1}{a} \cdot 0 + \ln(2a) - 1 ]

   Это упрощается до:

   [ \ln(2a) - 1 = 0 ]

   Отсюда следует:

   [ \ln(2a) = 1 ]

   Возводя в степень, получаем:

   [ 2a = e \implies a = \frac{e}{2} ]

5. Подставим значение ( a ) обратно в уравнение касательной.

   Теперь подставим найденное значение ( a ) в уравнение касательной. Сначала найдем ( \ln(2a) ):

   [ \ln(2a) = \ln(e) = 1 ]

   Теперь подставляем ( a = \frac{e}{2} ) в уравнение касательной:

   [ y = \frac{1}{\frac{e}{2}}x + 1 - 1 ]

   Это упрощается до:

   [ y = \frac{2}{e}x ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = \ln(2x) ), проходящей через начало координат, имеет вид:

[ y = \frac{2}{e}x ]