6 sina+5 cosa/4sina-3cosa, если tga=3

Первым делом найдем значения sina, cosa и tga, используя тригонометрические соотношения. Подставим их в выражение и выполним вычисления.

Чтобы решить выражение (\frac{6 \sin a + 5 \cos a}{4 \sin a - 3 \cos a}) при условии, что (\tan a = 3), мы сначала воспользуемся данным условием, чтобы выразить синус и косинус через тангенс.

Напомним, что (\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}). Согласно условию, (\tan a = 3), значит: [ \frac{\sin a}{\cos a} = 3 ]

Отсюда следует, что: [ \sin a = 3 \cos a ]

Теперь заменим (\sin a) в исходном выражении: [ \frac{6 \sin a + 5 \cos a}{4 \sin a - 3 \cos a} = \frac{6(3 \cos a) + 5 \cos a}{4(3 \cos a) - 3 \cos a} ]

Рассчитаем числитель и знаменатель: [ 6(3 \cos a) + 5 \cos a = 18 \cos a + 5 \cos a = 23 \cos a ] [ 4(3 \cos a) - 3 \cos a = 12 \cos a - 3 \cos a = 9 \cos a ]

Таким образом, выражение упрощается до: [ \frac{23 \cos a}{9 \cos a} ]

Так как (\cos a \neq 0) (иначе (\tan a) не имела бы смысла), можно сократить на (\cos a): [ \frac{23 \cos a}{9 \cos a} = \frac{23}{9} ]

Итак, значение выражения (\frac{6 \sin a + 5 \cos a}{4 \sin a - 3 \cos a}) при условии, что (\tan a = 3), равно (\frac{23}{9}).

Для начала, выразим синус, косинус и тангенс через тангенс: [ \sin{a} = \frac{tg{a}}{\sqrt{1+tg^2{a}}} = \frac{3}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} ] [ \cos{a} = \frac{1}{\sqrt{1+tg^2{a}}} = \frac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} ]

Теперь подставим значения синуса и косинуса в исходное выражение: [ \frac{6 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}{4 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} - 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}} ] Упростим числитель: [ \frac{18\sqrt{10} + 5\sqrt{10}}{12\sqrt{10} - 3\sqrt{10}} = \frac{23\sqrt{10}}{9\sqrt{10}} ] [ = \frac{23}{9} ]

Итак, исходное выражение равно 23/9.