Для решения обоих вопросов давайте разберем их по отдельности.
А) Скорость автомобилиста
Обозначим скорость автомобилиста на дачу как ( v ) км/ч. Тогда его скорость на обратном пути составит ( v + 2 ) км/ч. Время, затраченное на путь на дачу, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{24}{v}
]
Время, затраченное на обратный путь, будет:
[
t_2 = \frac{30}{v + 2}
]
По условию задачи, на обратный путь автомобилист затратил на 6 минут (или 0,1 часа) больше, чем на путь на дачу. Это можно записать в виде уравнения:
[
t_2 = t_1 + 0.1
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{30}{v + 2} = \frac{24}{v} + 0.1
]
Умножим обе стороны уравнения на ( v(v + 2) ) для избавления от дробей:
[
30v = 24(v + 2) + 0.1v(v + 2)
]
Раскроем скобки:
[
30v = 24v + 48 + 0.1v^2 + 0.2v
]
Соберем все члены в одном уравнении:
[
0.1v^2 + 0.2v + 24v - 30v + 48 = 0
]
Упростим уравнение:
[
0.1v^2 - 5.8v + 48 = 0
]
Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной части:
[
v^2 - 58v + 480 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 3364 - 1920 = 1444
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm 38}{2}
]
Это дает два решения:
[
v_1 = \frac{96}{2} = 48 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{20}{2} = 10
]
Поскольку по условию скорости больше 20 км/ч, то:
[
v = 48 \text{ км/ч}
]
Б) Траншея и бригады
Обозначим время, которое требуется второй бригаде для вырытия траншеи самостоятельно, как ( t ) часов. Тогда первой бригаде для вырытия траншеи потребуется ( t + 8 ) часов. Обозначим производительность первой бригады как ( R_1 ) (траншея за час), а второй бригады как ( R_2 ).
Так как первая бригада вырывает траншею за ( t + 8 ) часов, мы можем записать ее производительность как:
[
R_1 = \frac{1}{t + 8}
]
Вторая бригада вырывает траншею за ( t ) часов, и ее производительность:
[
R_2 = \frac{1}{t}
]
Когда первая бригада работала 4 часа одна, она вырыла:
[
4R_1 = 4 \cdot \frac{1}{t + 8} = \frac{4}{t + 8}
]
После этого к ней присоединилась вторая бригада, и они работали вместе еще 8 часов. За это время они вырыли:
[
8(R_1 + R_2) = 8\left(\frac{1}{t + 8} + \frac{1}{t}\right)
]
Сумма вырытой траншеи за все время работы должна равняться 1 (полная траншея), поэтому можем записать уравнение:
[
\frac{4}{t + 8} + 8\left(\frac{1}{t + 8} + \frac{1}{t}\right) = 1
]
Упростим уравнение:
[
\frac{4}{t + 8} + \frac{8}{t + 8} + \frac{8}{t} = 1
]
Сложим дроби:
[
\frac{12}{t + 8} + \frac{8}{t} = 1
]
Теперь умножим обе стороны на ( t(t + 8) ):
[
12t + 8(t + 8) = t(t + 8)
]
Раскроем скобки и соберем все в одно уравнение:
[
12t + 8t + 64 = t^2 + 8t
]
Сократим:
[
12t + 64 = t^2
]
Приведем к стандартному виду:
[
t^2 - 12t - 64 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400
]
Находим корни:
[
t = \frac{12 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{12 \pm 20}{2}
]
Это дает два решения:
[
t_1 = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{-8}{2} = -4
]
Так как время не может быть отрицательным, то:
[
t = 16 \text{ часов}
]
Таким образом, вторая бригада вырыла бы траншею самостоятельно за 16 часов.
