А) Log3(x+3)(x+5)+log3(x+3\x+5)=4 б) log0.5^2 4x+log2 x^2\8 =8

А) Для решения уравнения log3(x+3)(x+5)+log3(x+3/x+5)=4 применим свойство логарифмов: log(a) + log(b) = log(ab) и log(a) - log(b) = log(a/b). Таким образом, преобразуем уравнение:

log3((x+3)(x+5)) + log3((x+3)/(x+5)) = 4 log3((x+3)(x+5) * (x+3)/(x+5)) = 4 log3((x+3)^2) = 4 (x+3)^2 = 3^4 (x+3)^2 = 81 x+3 = ± √81 x+3 = ± 9 x = 6 or x = -12

Ответ: x = 6 или x = -12.

б) Для уравнения log0.5^2 4x + log2(x^2/8) = 8 воспользуемся свойством логарифмов: log(a^b) = b * log(a) и log(a/b) = log(a) - log(b):

2 log0.5(4x) + log2(x^2/8) = 8 log0.5(16x) + log2(x^2/8) = 8 log0.5(16x x^2/8) = 8 log0.5(2x^3) = 8 2x^3 = 0.5^8 2x^3 = 1/256 x^3 = 1/512 x = ∛(1/512) x = 1/8

Ответ: x = 1/8.

Давайте разберем решения данных уравнений.

А) (\log_3((x+3)(x+5)) + \log_3\left(\frac{x+3}{x+5}\right) = 4)

1. Объединение логарифмов:

   Используем свойство логарифмов: (\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)).

   [ \log_3((x+3)(x+5)) + \log_3\left(\frac{x+3}{x+5}\right) = \log_3 \left[((x+3)(x+5)) \cdot \frac{x+3}{x+5} \right] ]

   Упрощаем выражение внутри логарифма:

   [ \log_3((x+3)^2) = 4 ]

2. Переход к показательной форме:

   Переходим к уравнению:

   [ (x+3)^2 = 3^4 ]

   [ (x+3)^2 = 81 ]

3. Решение квадратного уравнения:

   Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

   [ x+3 = \pm 9 ]

   Решаем каждое из уравнений:

   1. (x+3 = 9) (\Rightarrow x = 6)
   2. (x+3 = -9) (\Rightarrow x = -12)

4. Проверка значений:

   Подставляем значения (x = 6) и (x = -12) в исходное выражение, чтобы убедиться, что логарифмы определены.

   • Для (x = 6): ((x+3) = 9), ((x+5) = 11), оба положительные.
   • Для (x = -12): ((x+3) = -9), что делает логарифм неопределённым.

   Таким образом, (x = 6) является единственным решением.

Б) (\log_{0.5^2} 4x + \log_2 \frac{x^2}{8} = 8)

1. Упрощение логарифмов:

   (\log{0.5^2} 4x) можно переписать как (\log{0.25} 4x). Замечаем, что (\log_{0.25} x = -\log_4 x), так как (0.25 = \frac{1}{4}).

   Таким образом:

   [ -\log_4 4x + \log_2 \frac{x^2}{8} = 8 ]

2. Объединение логарифмов:

   Изменим основание второго логарифма:

   [ \log_2 \frac{x^2}{8} = \frac{1}{\log_4 2} \cdot \log_4 \frac{x^2}{8} = 2 \log_4 \frac{x^2}{8} ]

   Теперь уравнение имеет вид:

   [ -\log_4 4x + 2\log_4 \frac{x^2}{8} = 8 ]

3. Приведение к единому логарифму:

   [ 2\log_4 \frac{x^2}{8} = \log_4 \left(\frac{x^4}{64}\right) ]

   Теперь уравнение имеет вид:

   [ \log_4 \left(\frac{x^4}{64 \cdot 4x}\right) = 8 ]

   [ \log_4 \left(\frac{x^3}{256}\right) = 8 ]

4. Переход к показательной форме:

   Переходим к уравнению:

   [ \frac{x^3}{256} = 4^8 ]

   [ \frac{x^3}{256} = 65536 ]

   [ x^3 = 65536 \cdot 256 ]

5. Вычисление (x):

   Найдем значение (x^3 = 16777216).

   [ x = \sqrt[3]{16777216} = 256 ]

Таким образом, решением является (x = 256).