А) Решите уравнение: 4*16^sinx-9*4^sinx+2=0 б) Выберите корни на отрезке [5pi/2; 4pi]

а) Для решения данного уравнения сначала заметим, что можно провести замену переменной: пусть 4^sinx = t. Тогда уравнение примет вид:

4t^2 - 9t + 2 = 0

Далее решим квадратное уравнение:

D = 81 - 32 = 49

t1 = (9 + √49) / 8 = 1 t2 = (9 - √49) / 8 = 1/4

Таким образом, получаем два возможных значения для t. Теперь найдем sinx для каждого из них:

1) 4^sinx = 1 sinx = 0

2) 4^sinx = 1/4 sinx = -1/2

Итак, корни уравнения: x1 = 0, x2 = -pi/6

б) На отрезке [5pi/2; 4pi] у нас могут быть только целые значения sinx, так как sinx принимает значения от -1 до 1. Поэтому возможные корни на данном отрезке: x = -pi/2, x = -pi, x = -3pi/2, x = -2pi.

а) Решим уравнение: [ 4 \cdot 16^{\sin x} - 9 \cdot 4^{\sin x} + 2 = 0 ]

Заметим, что (16^{\sin x} = (4^{\sin x})^2). Обозначим (y = 4^{\sin x}), тогда уравнение примет вид: [ 4y^2 - 9y + 2 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 ] [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{8} ] [ y_1 = 2, \quad y_2 = \frac{1}{4} ]

Теперь вернёмся к переменной (x):

1. (4^{\sin x} = 2) [\sin x = \log_4 2 = \frac{1}{2}] [x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k ] [x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k ]

2. (4^{\sin x} = \frac{1}{4}) [\sin x = \log_4 \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}] [x = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k ] [x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k ]

б) Найдём корни на отрезке ([5\pi/2; 4\pi]):

• (x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k): [\frac{5\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi] Решая это неравенство для (k), находим (k = 2). Тогда (x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}).

• (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k): [\frac{5\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi] Решая это неравенство для (k), находим (k = 2). Тогда (x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}).

• (x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k): [\frac{5\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi] Решая это неравенство для (k), находим (k = 2). Тогда (x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}).

• (x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k): [\frac{5\pi}{2} \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi] Решая это неравенство для (k), находим (k = 2). Тогда (x = \frac{7\pi}{6} + 4\pi = \frac{31\pi}{6}).

Таким образом, корни уравнения на отрезке ([5\pi/2; 4\pi]) равны (\frac{25\pi}{6}), (\frac{29\pi}{6}), (\frac{23\pi}{6}), и (\frac{31\pi}{6}).