А) Решите уравнение log3 (sin2x+cos (п-x) +9)=2 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие...

А) Для решения уравнения (\log_3 (\sin 2x + \cos (\pi - x) + 9) = 2) начнем с того, что (\cos (\pi - x) = -\cos x). Поэтому уравнение принимает вид:

[ \log_3 (\sin 2x - \cos x + 9) = 2 ]

Поскольку (\log_3 y = 2) тогда (y = 3^2 = 9). Значит, уравнение преобразуется в:

[ \sin 2x - \cos x + 9 = 9 ]

Откуда следует, что:

[ \sin 2x - \cos x = 0 ]

Используем тригонометрическое тождество (\sin 2x = 2 \sin x \cos x). Тогда уравнение принимает вид:

[ 2 \sin x \cos x - \cos x = 0 ]

Выносим (\cos x) за скобки:

[ \cos x (2 \sin x - 1) = 0 ]

Отсюда получаем два уравнения:

1) (\cos x = 0) 2) (2 \sin x - 1 = 0)

Решим их:

1) (\cos x = 0) даёт (x = \frac{\pi}{2} + k\pi), где (k) — целое число.

2) (2 \sin x - 1 = 0) приводит к (\sin x = \frac{1}{2}), откуда (x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n) или (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n), где (n) — целое число.

б) Найдем корни на отрезке ([2\pi; \frac{7\pi}{2}]).

1) Для (x = \frac{\pi}{2} + k\pi): [ \frac{\pi}{2} + 2\pi k \leq 2\pi \leq \frac{7\pi}{2} \implies k = 1 \text{ и } k = 2 ] Корни здесь: (x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}) и (x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}).

2) Для (x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n) и (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n): [ \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 2\pi \implies n = \frac{11}{12}\text{ (не подходит, т. к. (n) должно быть целым)} ] [ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = 2\pi \implies n = \frac{7}{12}\text{ (не подходит по той же причине)} ]

Значит, в этом случае подходящих корней нет.

Таким образом, единственные корни уравнения на заданном отрезке — это (x = \frac{5\pi}{2}) и (x = \frac{9\pi}{2}).

А) Для начала преобразуем уравнение: log3 (sin^2x + cos(p - x) + 9) = 2 Преобразуем сначала аргумент логарифма: sin^2x + cos(p - x) + 9 = 3^2 sin^2x + cos(p - x) + 9 = 9 sin^2x + cos(p - x) = 0 sin^2x + cos(p)cos(x) + sin(p)sin(x) = 0 sin^2x + cos(p)cos(x) + sin(p)sin(x) = 0 sin^2x = cos(p)cos(x) + sin(p)sin(x) sin^2x = cos(x + p)

Далее, используем формулу приведения для синуса: sin(x + p) = sinxcosp + cosxsinp sin^2x = sinxcos(p) + cosxsin(p)

Подставим это обратно в уравнение: sinxcos(p) + cosxsin(p) = cosx cosx(sin(p) + 1) = 0

Таким образом, уравнение сводится к двум возможным случаям: 1) cosx = 0 x = kπ + π/2, где k - целое число 2) sin(p) + 1 = 0 sin(p) = -1 p = (3π)/2

Ответ: x = kπ + π/2, p = (3π)/2

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2]. Так как мы уже нашли, что p = (3π)/2, то остается найти значения x на отрезке [2π; 7π/2], при условии, что x = kπ + π/2.

Подставляя значения k = 4 и k = 5, получаем: Для k = 4: x = 4π + π/2 = 9π/2 Для k = 5: x = 5π + π/2 = 11π/2

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2], равны: x = 9π/2, 11π/2.