A) Решите уравнение:3tg^2 x-5/cosx+1=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [...

Рассмотрим уравнение: [ 3 \tan^2 x - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 ]

A) Решение уравнения:

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Вспомним, что (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}) и (\cos x \neq 0).

2. Перепишем уравнение следующим образом: [ 3 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 - \frac{5}{\cos x} + 1 = 0 ]

3. Преобразуем его, умножив на (\cos^2 x) (чтобы избавиться от знаменателя): [ 3 \sin^2 x - 5 \cos x + \cos^2 x = 0 ]

4. Используем тригонометрическое тождество (\sin^2 x + \cos^2 x = 1): [ 3 (1 - \cos^2 x) - 5 \cos x + \cos^2 x = 0 ]

5. Упростим уравнение: [ 3 - 3 \cos^2 x - 5 \cos x + \cos^2 x = 0 ] [ 3 - 2 \cos^2 x - 5 \cos x = 0 ]

6. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ 2 \cos^2 x + 5 \cos x - 3 = 0 ]

7. Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно (\cos x). Решим его через дискриминант: [ a = 2, \quad b = 5, \quad c = -3 ]

8. Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 ]

9. Найдем корни квадратного уравнения: [ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{4} ]

10. Получаем два значения для (\cos x): [ \cos x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ] [ \cos x = \frac{-12}{4} = -3 ]

Значение (\cos x = -3) не является возможным, так как (\cos x) может находиться только в промежутке от -1 до 1.

1. Таким образом, у нас остается: [ \cos x = \frac{1}{2} ]

2. Находим соответствующие значения (x): [ \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку ( \left[ -\frac{7\pi}{2}, -2\pi \right] ):

1. Рассмотрим значение ( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ): [ \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] Проверим, какие значения (k) удовлетворяют неравенству: [ -\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq -2\pi ]

2. Проверим значение ( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ): [ -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ] Проверим, какие значения (k) удовлетворяют неравенству: [ -\frac{7\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq -2\pi ]

Проверим оба варианта:

Для ( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ): [ -\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq -2\pi ] Умножим все на 3: [ -\frac{21\pi}{2} \leq \pi + 6k\pi \leq -6\pi ] Вычтем (\pi): [ -\frac{23\pi}{2} \leq 6k\pi \leq -7\pi ] Разделим на (6\pi): [ -\frac{23}{12} \leq k \leq -\frac{7}{6} ]

Для ( x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ): [ -\frac{7\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq -2\pi ] Умножим все на 3: [ -\frac{21\pi}{2} \leq -\pi + 6k\pi \leq -6\pi ] Добавим (\pi): [ -\frac{21\pi}{2} + \pi \leq 6k\pi \leq -5\pi ] [ -\frac{19\pi}{2} \leq 6k\pi \leq -5\pi ] Разделим на (6\pi): [ -\frac{19}{12} \leq k \leq -\frac{5}{6} ]

Проверим, какие значения (k) целые и подходят в оба случая:

Для первого случая: [ k = -2 ] [ x = \frac{\pi}{3} + 2(-2)\pi = \frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi - 12\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3} ]

Для второго случая: [ k = -2 ] [ x = -\frac{\pi}{3} + 2(-2)\pi = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{\pi + 12\pi}{3} = -\frac{13\pi}{3} ]

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку ( \left[ -\frac{7\pi}{2}, -2\pi \right] ), это: [ -\frac{11\pi}{3} \quad \text{и} \quad -\frac{13\pi}{3} ]

A) Для начала преобразуем уравнение: 3tg^2 x - 5/cosx + 1 = 0 3sin^2 x/cos^2 x - 5/cosx + 1 = 0 3sin^2 x - 5cosx + cos^2 x = 0 3sin^2 x - 5cosx + 1 - sin^2 x = 0 2sin^2 x - 5cos x + 1 = 0

B) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-7pi/2; -2pi]: Для этого рассмотрим уравнение 2sin^2 x - 5cos x + 1 = 0 на указанном отрезке. При подстановке x = -2pi уравнение не выполняется, а при x = -7pi/2 уравнение также не выполняется. Следовательно, на данном отрезке нет корней уравнения 3tg^2 x-5/cosx+1=0.

a) Уравнение 3tan^2(x) - 5/cos(x) + 1 = 0 не имеет аналитического решения. b) Для нахождения корней уравнения на отрезке [-7pi/2, -2pi] необходимо использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона.