A1 Определите функцию, для которой F(x) = x2 – sin2x – 1 является первообразной: помогите решить пожалуйста

Для того чтобы найти функцию, для которой F(x) = x^2 - sin^2(x) - 1 является первообразной, нужно найти производную этой функции и убедиться, что она равна исходной функции.

Производная функции F(x) = x^2 - sin^2(x) - 1 будет равна F'(x) = 2x - 2sin(x)cos(x).

Теперь проверим, что производная F'(x) действительно равна исходной функции F(x). Для этого проинтегрируем производную F'(x):

∫(2x - 2sin(x)cos(x))dx = x^2 - sin^2(x) + C,

где С - произвольная постоянная.

Таким образом, функция F(x) = x^2 - sin^2(x) - 1 является первообразной функции x^2 - sin^2(x) - 1.

Чтобы найти функцию, для которой ( F(x) = x^2 - \sin^2(x) - 1 ) является первообразной, нам нужно найти такую функцию ( f(x) ), что ( F'(x) = f(x) ).

Для этого мы возьмём производную ( F(x) ). Напомним, что производная суммы функций равна сумме их производных, а также воспользуемся следующими правилами дифференцирования:

1. Производная ( x^2 ) равна ( 2x ).
2. Производная ( \sin^2(x) ) равна ( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) ) (посредством использования правила цепочки и тригонометрической идентичности).
3. Производная константы равна нулю.

Итак, найдем производную ( F(x) ):

[ F(x) = x^2 - \sin^2(x) - 1 ]

Применяем правила дифференцирования:

1. Производная ( x^2 ) равна ( 2x ).
2. Производная ( -\sin^2(x) ) равна ( -\sin(2x) ) (по правилу цепочки).
3. Производная ( -1 ) равна ( 0 ).

Следовательно, производная ( F(x) ) будет:

[ F'(x) = 2x - \sin(2x) ]

Итак, функция ( f(x) ), для которой ( F(x) ) является первообразной, будет:

[ f(x) = 2x - \sin(2x) ]

Таким образом, ( F(x) = x^2 - \sin^2(x) - 1 ) является первообразной для функции ( f(x) = 2x - \sin(2x) ).