А2. Найдите производную функции а) (х^2 -3)(х+х^3);
А2. Найдите производную функции а) (х^2 -3)(х+х^3);
Чтобы найти производную функции ( f(x) = (x^2 - 3)(x + x^3) ), мы можем использовать правило произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции ( u(x) ) и ( v(x) ), то производная их произведения ( u(x)v(x) ) равна:
[ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]
В нашем случае, пусть
( u(x) = x^2 - 3 ) и ( v(x) = x + x^3 ).
Теперь найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ):
Производная ( u(x) ) будет:
[ u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3) = 2x ]
Производная ( v(x) ) будет:
[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x + x^3) = 1 + 3x^2 ]
Теперь применим правило произведения:
[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ]
Подставим найденные производные:
[ f'(x) = (2x)(x + x^3) + (x^2 - 3)(1 + 3x^2) ]
Раскроем скобки и упростим выражение:
[ f'(x) = 2x(x + x^3) + (x^2 - 3)(1 + 3x^2) ]
[ = 2x^2 + 2x^4 + x^2 + 3x^4 - 3 - 9x^2 ]
Теперь соберем подобные члены:
[ = 2x^4 + 3x^4 + 2x^2 + x^2 - 9x^2 - 3 ]
[ = 5x^4 - 6x^2 - 3 ]
Таким образом, производная функции ( f(x) = (x^2 - 3)(x + x^3) ) равна:
[ f'(x) = 5x^4 - 6x^2 - 3 ]
а) f'(x) = (2x)(x+x^3) + (x^2-3)(1+3x^2) = 2x^2 + 2x^4 + x^2 - 3 + 3x^2 - 9x^2 = 2x^4 + 6x^2 - 3
Для нахождения производной произведения двух функций необходимо воспользоваться правилом производной произведения: (fg)' = f'g + fg'
где f и g - функции, а f' и g' - их производные.
Итак, у нас дано произведение двух функций: f(x) = (x^2 - 3) и g(x) = (x + x^3).
Найдем производные от каждой из этих функций: f'(x) = d/dx(x^2 - 3) = 2x g'(x) = d/dx(x + x^3) = 1 + 3x^2
Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения функций: (fg)' = (x^2 - 3)(1 + 3x^2) + (x + x^3)(2x) (fg)' = x^2 + 3x^4 - 3 - 9x^2 + 2x^2 (fg)' = 3x^4 - 6x^2 + 2x^2 - 3 (fg)' = 3x^4 - 4x^2 - 3
Итак, производная функции (x^2 - 3)(x + x^3) равна 3x^4 - 4x^2 - 3.
