Агебра 2) f(x)= 2x+3 корень 3 степени из x^2. Найдите: а) Критические точки функции f(x) на отрезке...

Давайте подробно разберём каждый из пунктов задачи.

Задача 2:

Дана функция ( f(x) = 2x + 3 \sqrt[3]{x^2} )

Нужно: а) Найти критические точки функции ( f(x) ) на отрезке ([-8; 1]).
б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции ( f(x) ) на этом отрезке.

Решение (а): Критические точки

Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует.
Выразим производную ( f'(x) ):

1. Функция ( f(x) = 2x + 3 \sqrt[3]{x^2} ) состоит из двух частей:

   • ( 2x ) — это линейная функция, её производная равна 2.
   • ( 3 \sqrt[3]{x^2} ) — производная этой части требует преобразования. Напомним, что ( \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3} ).

2. Производная от ( x^{2/3} ): [ \frac{d}{dx} \left( x^{2/3} \right) = \frac{2}{3} x^{-1/3}. ]

3. Производная всей функции: [ f'(x) = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = 2 + 2x^{-1/3}. ]

4. Приведём к общему виду: [ f'(x) = 2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}. ]

Теперь найдём критические точки:

• Производная ( f'(x) ) не существует в точке ( x = 0 ) (так как деление на 0 невозможно). Значит, ( x = 0 ) — это критическая точка.
• Чтобы найти остальные критические точки, решим уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 0. ] Упростим: [ \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = -2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt[3]{x} = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -1. ]

Вывод: критические точки функции на отрезке ([-8; 1]) — это ( x = 0 ) и ( x = -1 ).

Решение (б): Наибольшее и наименьшее значение функции

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ([-8; 1]), необходимо исследовать функцию в трёх типах точек:

1. На концах отрезка (( x = -8 ) и ( x = 1 )).
2. В критических точках (( x = 0 ) и ( x = -1 )).

Вычислим значения функции ( f(x) = 2x + 3 \sqrt[3]{x^2} ) в этих точках:

1. Для ( x = -8 ): [ f(-8) = 2(-8) + 3 \sqrt[3]{(-8)^2} = -16 + 3 \cdot \sqrt[3]{64} = -16 + 3 \cdot 4 = -16 + 12 = -4. ]

2. Для ( x = 1 ): [ f(1) = 2(1) + 3 \sqrt[3]{(1)^2} = 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5. ]

3. Для ( x = 0 ): [ f(0) = 2(0) + 3 \sqrt[3]{(0)^2} = 0 + 3 \cdot 0 = 0. ]

4. Для ( x = -1 ): [ f(-1) = 2(-1) + 3 \sqrt[3]{(-1)^2} = -2 + 3 \sqrt[3]{1} = -2 + 3 = 1. ]

Теперь сравним все значения:

• ( f(-8) = -4 ),
• ( f(-1) = 1 ),
• ( f(0) = 0 ),
• ( f(1) = 5 ).

Вывод:

• Наименьшее значение функции: ( f(-8) = -4 ).
• Наибольшее значение функции: ( f(1) = 5 ).

Задача 3:

Дана функция ( f(x) = x^5 + 2x^3 + 3x - 11 ).

Нужно найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке ([-1; 1]).

Решение

1. Найдём критические точки функции. Для этого найдём производную ( f'(x) ): [ f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 3. ]

2. Критические точки находятся там, где ( f'(x) = 0 ) или ( f'(x) ) не существует. Однако, ( f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 3 ) существует для всех ( x ), поэтому решаем уравнение: [ 5x^4 + 6x^2 + 3 = 0. ]

   Заметим, что все коэффициенты положительны, а выражение ( 5x^4 + 6x^2 + 3 > 0 ) для всех ( x ). Следовательно, критических точек нет.

3. Осталось проверить значение функции на концах отрезка (( x = -1 ) и ( x = 1 )):

• Для ( x = -1 ): [ f(-1) = (-1)^5 + 2(-1)^3 + 3(-1) - 11 = -1 - 2 - 3 - 11 = -17. ]

• Для ( x = 1 ): [ f(1) = (1)^5 + 2(1)^3 + 3(1) - 11 = 1 + 2 + 3 - 11 = -5. ]

Вывод:

• Наименьшее значение функции: ( f(-1) = -17 ).
• Наибольшее значение функции: ( f(1) = -5 ).

Задача 4:

Дана функция ( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + a ).

Нужно найти значение параметра ( a ), при котором наименьшее значение функции на отрезке ([-2; 1]) равно 6.

Решение

1. Найдём производную функции: [ f'(x) = 3x^2 + 6x + 3. ]

2. Исследуем критические точки. Решим уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 + 6x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 1)^2 = 0. ] Отсюда ( x = -1 ).

3. Значения функции нужно проверить в ( x = -2 ), ( x = -1 ) (критическая точка) и ( x = 1 ).

• Для ( x = -2 ): [ f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + a = -8 + 12 - 6 + a = -2 + a. ]

• Для ( x = -1 ): [ f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + a = -1 + 3 - 3 + a = -1 + a. ]

• Для ( x = 1 ): [ f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) + a = 1 + 3 + 3 + a = 7 + a. ]

1. Нам дано, что наименьшее значение функции равно 6. Заметим, что это значение достигается в ( x = -2 ) или ( x = -1 ) (так как ( f(1) = 7 + a > 6 + a )).

Рассмотрим ( x = -2 ): [ f(-2) = -2 + a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 8. ]

Ответ: ( a = 8 ).

Давайте разберем все вопросы по порядку.

Задача 2:

a) Найдем критические точки функции ( f(x) = 2x + 3\sqrt[3]{x^2} ) на отрезке ([-8; 1]).

Сначала найдем производную функции ( f(x) ):

[ f'(x) = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{1/2} = 2 + 2x^{1/2} ]

Упростим производную:

[ f'(x) = 2 + 2\sqrt{x} ]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

[ 2 + 2\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = -1 ]

Поскольку корень не может быть отрицательным, у нас нет критических точек, полученных из производной.

Теперь проверим значения функции на границах отрезка.

[ f(-8) = 2(-8) + 3\sqrt[3]{(-8)^2} = -16 + 3\cdot4 = -16 + 12 = -4 ]

[ f(1) = 2(1) + 3\sqrt[3]{1^2} = 2 + 3\cdot1 = 2 + 3 = 5 ]

Таким образом, критических точек нет, и мы имеем значения функции на границах отрезка: ( f(-8) = -4 ) и ( f(1) = 5 ).

b) Наибольшее значение функции ( f(x) ) на отрезке ([-8; 1]) равно 5, а наименьшее значение равно -4.

Задача 3:

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции ( f(x) = x^5 + 2x^3 + 3x - 11 ) на отрезке ([-1; 1]).

Сначала найдем производную функции:

[ f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 3 ]

Производная не равна нулю для всех ( x ) в ([-1; 1]), поскольку ( 5x^4 + 6x^2 + 3 > 0 ) для всех ( x ) (все слагаемые положительны).

Теперь найдём значения функции на границах отрезка:

[ f(-1) = (-1)^5 + 2(-1)^3 + 3(-1) - 11 = -1 - 2 - 3 - 11 = -17 ]

[ f(1) = (1)^5 + 2(1)^3 + 3(1) - 11 = 1 + 2 + 3 - 11 = -5 ]

Таким образом, наименьшее значение функции ( f(x) ) на отрезке ([-1; 1]) равно -17, а наибольшее значение равно -5.

Задача 4:

Дана функция ( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + a ). Найдите значение параметра ( a ), при котором наименьшее значение функции ( f(x) ) на отрезке ([-2; 1]) равно 6.

Сначала найдем производную функции:

[ f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 ]

Приравняем производную к нулю:

[ 3(x^2 + 2x + 1) = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1 ]

Теперь найдем значения функции на границах отрезка и в критической точке:

[ f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + a = -8 + 12 - 6 + a = -2 + a ]

[ f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + a = -1 + 3 - 3 + a = -1 + a ]

[ f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 + 3(1) + a = 1 + 3 + 3 + a = 7 + a ]

Теперь сравним полученные значения:

• На границе ( x = -2 ): ( f(-2) = -2 + a )
• В критической точке ( x = -1 ): ( f(-1) = -1 + a )
• На границе ( x = 1 ): ( f(1) = 7 + a )

Минимальное значение функции на отрезке должно равняться 6. Оно может быть либо в ( f(-2) ), либо в ( f(-1) ), поскольку ( f(1) = 7 + a ) всегда больше.

Рассмотрим два случая:

1. ( -2 + a = 6 \implies a = 8 )
2. ( -1 + a = 6 \implies a = 7 )

Проверим, какое значение ( a ) дает наименьшее значение функции равное 6.

Для ( a = 8 ):

[ f(-2) = -2 + 8 = 6 ] [ f(-1) = -1 + 8 = 7 ] [ f(1) = 7 + 8 = 15 ]

Наименьшее значение функции равно 6, что соответствует условию задачи.

Таким образом, значение параметра ( a ), при котором наименьшее значение функции на отрезке ([-2; 1]) равно 6, равно ( a = 8 ).