А)log основания 2(cos x+ sin 2x +8)=3 б)найдите все корни этого уравнения,принадлежащее отрезку [1,5п;3п]...

а) log основания 2(cos x + sin 2x + 8) = 3

б) Корни уравнения на отрезке [1,5π;3π] - x = 2π

Объяснение решения:

1. Преобразуем уравнение: 2^(log₂(cos x + sin 2x + 8)) = 2^3
2. Выражаем выражение в скобках: cos x + sin 2x + 8 = 8
3. Упрощаем: cos x + sin 2x = 0
4. Преобразуем sin 2x с помощью формулы двойного угла: cos x + 2sin x cos x = 0
5. Выносим cos x за скобку: cos x(1 + 2sin x) = 0
6. Находим корни: cos x = 0 или 1 + 2sin x = 0
7. Для первого случая получаем корень x = π/2
8. Для второго случая: sin x = -1/2, что дает корни x = 7π/6, 11π/6
9. Таким образом, на отрезке [1,5π;3π] уравнение имеет корень x = 2π.

a) Для начала преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов: log₂(cos x + sin 2x + 8) = 3 cos x + sin 2x + 8 = 2³ cos x + sin 2x + 8 = 8 sin 2x = 8 - cos x - 8 sin 2x = -cos x

Теперь применим тригонометрическую тождество sin 2x = 2sin x cos x: 2sin x cos x = -cos x 2sin x cos x + cos x = 0 cos x(2sin x + 1) = 0

Теперь найдем корни уравнения:

1. cos x = 0 x = π/2, 3π/2

2. 2sin x + 1 = 0 2sin x = -1 sin x = -1/2 x = 7π/6, 11π/6

Итак, корни уравнения на отрезке [π, 3π]: x = π/2, 3π/2, 7π/6, 11π/6

b) При решении уравнения мы использовали свойства логарифмов, тригонометрические тождества и решали полученные уравнения для нахождения корней. Корни уравнения находятся путем преобразования и использования тригонометрических тождеств.

Рассмотрим уравнение ( \log_2 (\cos x + \sin 2x + 8) = 3 ).

Шаг 1: Преобразование логарифмического уравнения

Начнем с преобразования логарифмического уравнения в экспоненциальное: [ \log_2 (\cos x + \sin 2x + 8) = 3 ] Это эквивалентно: [ \cos x + \sin 2x + 8 = 2^3 ] [ \cos x + \sin 2x + 8 = 8 ]

Шаг 2: Упрощение уравнения

Теперь вычтем 8 с обеих сторон: [ \cos x + \sin 2x + 8 - 8 = 8 - 8 ] [ \cos x + \sin 2x = 0 ]

Шаг 3: Использование тригонометрической идентичности

Используем тригонометрическую идентичность для (\sin 2x): [ \sin 2x = 2 \sin x \cos x ] Тогда уравнение принимает вид: [ \cos x + 2 \sin x \cos x = 0 ]

Шаг 4: Факторизация

Вынесем (\cos x) за скобку: [ \cos x (1 + 2 \sin x) = 0 ]

Шаг 5: Нахождение корней уравнения

Уравнение (\cos x (1 + 2 \sin x) = 0) дает нам два возможных пути:

1. (\cos x = 0)
2. (1 + 2 \sin x = 0)

Решение 1: (\cos x = 0)

[ \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} ]

Решение 2: (1 + 2 \sin x = 0)

[ 1 + 2 \sin x = 0 \Rightarrow 2 \sin x = -1 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2} ] [ \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} ]

Шаг 6: Поиск корней на отрезке ([1.5\pi; 3\pi])

Итак, мы имеем:

1. ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi )
2. ( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi )
3. ( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi )

Проверим, какие из этих корней принадлежат отрезку ([1.5\pi; 3\pi]).

Корни вида ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi )

Пусть ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ): [ 1.5\pi \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \leq 3\pi ] [ 1.5 \leq \frac{1}{2} + k \leq 3 ] [ 3 \leq 1 + 2k \leq 6 ] [ 1 \leq 2k \leq 5 ] [ 0.5 \leq k \leq 2.5 ] Возможные значения ( k = 1, 2 ): [ k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi = 1.5\pi ] [ k = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = 2.5\pi ]

Корни вида ( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi )

Пусть ( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi ): [ 1.5\pi \leq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \leq 3\pi ] [ 1.5 \leq \frac{7}{6} + 2k \leq 3 ] [ 9 \leq 7 + 12k \leq 18 ] [ 2 \leq 12k \leq 11 ] [ \frac{1}{6} \leq k \leq \frac{11}{12} ] Возможные значения ( k = 1 ) (но это выходит за рамки отрезка, так как (2k = 2)).

Корни вида ( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi )

Пусть ( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi ): [ 1.5\pi \leq -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq 3\pi ] [ 1.5 \leq -\frac{1}{6} + 2k \leq 3 ] [ 9 \leq -1 + 12k \leq 18 ] [ 10 \leq 12k \leq 19 ] [ \frac{5}{6} \leq k \leq \frac{19}{12} ] Возможные значения ( k = 1 ): [ k = 1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} ] (не входит в отрезок).

Итог: Корни уравнения на отрезке ([1.5\pi; 3\pi])

Таким образом, корни уравнения ( \log_2 (\cos x + \sin 2x + 8) = 3 ) на отрезке ([1.5\pi; 3\pi]) следующие: [ x = 1.5\pi, \quad x = 2.5\pi ]

Эти два значения являются корнями уравнения на данном отрезке.