(Аn) - арифметическая прогрессия a1 = 3, a11 = -5,4 является ли -27 членом (An)?
(Аn) - арифметическая прогрессия a1 = 3, a11 = -5,4 является ли -27 членом (An)?
Чтобы определить, является ли число (-27) членом арифметической прогрессии ((A_n)), нам нужно рассмотреть свойства арифметической прогрессии и использовать её формулу.
Формула общего члена арифметической прогрессии выглядит так: [ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d, ] где:
Нам известно, что (a{11} = -5.4). Подставим это в формулу общего члена прогрессии: [ a{11} = a_1 + (11 - 1) \cdot d. ] Подставим значения: [ -5.4 = 3 + 10 \cdot d. ] Вычтем (3) из обеих сторон уравнения: [ -5.4 - 3 = 10 \cdot d, ] [ -8.4 = 10 \cdot d. ] Разделим обе стороны на (10): [ d = -0.84. ]
Итак, разность арифметической прогрессии: (d = -0.84).
Подставим значения (a_1 = 3) и (d = -0.84) в формулу: [ a_n = 3 + (n - 1) \cdot (-0.84). ] Упростим: [ a_n = 3 - 0.84 \cdot (n - 1). ] Раскроем скобки: [ a_n = 3 - 0.84n + 0.84. ] Приведём подобные: [ a_n = 3.84 - 0.84n. ]
Чтобы узнать, является ли (-27) членом прогрессии, приравняем (a_n = -27) и найдём (n): [ -27 = 3.84 - 0.84n. ] Вычтем (3.84) из обеих сторон: [ -27 - 3.84 = -0.84n, ] [ -30.84 = -0.84n. ] Разделим обе стороны на (-0.84): [ n = \frac{-30.84}{-0.84}. ] Выполним деление: [ n = 36.714. ]
Полученное значение (n = 36.714) не является целым числом. А так как номер члена (n) арифметической прогрессии должен быть натуральным числом ((n \in \mathbb{N})), это значит, что (-27) не является членом прогрессии ((A_n)).
Число (-27) не является членом арифметической прогрессии ((A_n)).
Чтобы выяснить, является ли -27 членом данной арифметической прогрессии, найдем её первый член и разность.
Известно, что ( a1 = 3 ) и ( a{11} = -5.4 ). Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии:
[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ]
где ( d ) — разность прогрессии. Подставим известные значения для ( n = 11 ):
[ -5.4 = 3 + (11-1) \cdot d ] [ -5.4 = 3 + 10d ] [ 10d = -5.4 - 3 = -8.4 ] [ d = -0.84 ]
Теперь у нас есть первый член ( a_1 = 3 ) и разность ( d = -0.84 ). Теперь найдем общее выражение для n-го члена:
[ a_n = 3 + (n - 1)(-0.84) ]
Чтобы -27 стал частью прогрессии, должно выполняться следующее уравнение:
[ -27 = 3 + (n - 1)(-0.84) ] [ -27 - 3 = (n - 1)(-0.84) ] [ -30 = (n - 1)(-0.84) ] [ 30 = (n - 1)(0.84) ] [ n - 1 = \frac{30}{0.84} \approx 35.71 ] [ n \approx 36.71 ]
Поскольку n должно быть целым числом, -27 не является членом данной арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается из предыдущего добавлением одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.
Для данной прогрессии обозначим:
Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так: [ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ] где ( d ) — разность прогрессии.
Нам необходимо найти разность ( d ). Мы знаем значения первого и одиннадцатого членов: [ a_{11} = a_1 + (11 - 1) \cdot d ] Подставим известные значения: [ -5.4 = 3 + 10d ] Теперь решим это уравнение для ( d ): [ -5.4 - 3 = 10d ] [ -8.4 = 10d ] [ d = -0.84 ]
Теперь у нас есть разность прогрессии ( d = -0.84 ). Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти любой член прогрессии, включая ( a_n ).
Теперь проверим, является ли -27 членом данной прогрессии. Для этого предположим, что -27 является n-м членом прогрессии: [ a_n = -27 ] Подставим в формулу: [ -27 = 3 + (n - 1)(-0.84) ] Решим это уравнение для ( n ): [ -27 - 3 = (n - 1)(-0.84) ] [ -30 = (n - 1)(-0.84) ] Разделим обе стороны на -0.84: [ n - 1 = \frac{30}{0.84} ] [ n - 1 \approx 35.71 ] [ n \approx 36.71 ]
Поскольку ( n ) должно быть целым числом, и мы получили значение, не являющееся целым, это означает, что -27 не является членом данной арифметической прогрессии.
Таким образом, ответ: -27 не является членом арифметической прогрессии ( (A_n) ).
