А)Найдите сумму всех натуральных чисел не превышающих 50 б)всех натуральных чисел,кратных 4,не превосходящих...

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по порядку.

А) Найдите сумму всех натуральных чисел, не превышающих 50.

Сумма первых ( n ) натуральных чисел рассчитывается по формуле:

[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} ]

В данном случае ( n = 50 ). Подставим значение в формулу:

[ S_{50} = \frac{50(50 + 1)}{2} = \frac{50 \cdot 51}{2} = \frac{2550}{2} = 1275 ]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50, равна 1275.

Б) Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4, не превосходящих 100.

Натуральные числа, кратные 4, образуют арифметическую прогрессию, где первый член ( a = 4 ), последний член ( l = 100 ) (последнее число, кратное 4, не превышающее 100) и шаг ( d = 4 ).

Чтобы найти количество членов этой прогрессии, можно воспользоваться формулой для ( n )-го члена арифметической прогрессии:

[ l = a + (n - 1) \cdot d ]

Подставим известные значения:

[ 100 = 4 + (n - 1) \cdot 4 ] [ 100 - 4 = (n - 1) \cdot 4 ] [ 96 = (n - 1) \cdot 4 ] [ n - 1 = 24 \quad \Rightarrow \quad n = 25 ]

Теперь мы знаем, что в прогрессии 25 членов. Сумма ( S_n ) первых ( n ) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) ]

Подставим значения:

[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (4 + 100) = \frac{25}{2} \cdot 104 = 25 \cdot 52 = 1300 ]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 100, равна 1300.

В) Найдите сумму всех нечетных чисел, не превосходящих 100.

Нечетные числа, не превышающие 100, также образуют арифметическую прогрессию, где первый член ( a = 1 ), последний член ( l = 99 ) (последнее нечетное число, не превышающее 100) и шаг ( d = 2 ).

Чтобы найти количество членов этой прогрессии, используем аналогичный подход:

[ l = a + (n - 1) \cdot d ] [ 99 = 1 + (n - 1) \cdot 2 ] [ 99 - 1 = (n - 1) \cdot 2 ] [ 98 = (n - 1) \cdot 2 ] [ n - 1 = 49 \quad \Rightarrow \quad n = 50 ]

Теперь мы знаем, что в прогрессии 50 членов. Сумма ( S_n ) первых ( n ) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) ]

Подставим значения:

[ S_{50} = \frac{50}{2} \cdot (1 + 99) = 25 \cdot 100 = 2500 ]

Таким образом, сумма всех нечетных чисел, не превышающих 100, равна 2500.

Итоги:

• Сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50: 1275
• Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 100: 1300
• Сумма всех нечетных чисел, не превышающих 100: 2500

Рассмотрим решения по каждому пункту подробно:

а) Сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50

Натуральные числа — это числа ( 1, 2, 3, \dots, 50 ). Такая последовательность образует арифметическую прогрессию, где:

• первый член ( a_1 = 1 ),
• последний член ( a_n = 50 ),
• количество членов ( n = 50 ).

Формула суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии выглядит так:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n), ]

где:

• ( n ) — количество членов прогрессии,
• ( a_1 ) — первый член прогрессии,
• ( a_n ) — последний член прогрессии.

Подставляем значения:

[ S_{50} = \frac{50}{2} \cdot (1 + 50) = 25 \cdot 51 = 1275. ]

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, не превышающих 50, равна ( 1275 ).

б) Сумма всех натуральных чисел, кратных 4, не превосходящих 100

Натуральные числа, кратные 4, не превосходящие 100: ( 4, 8, 12, \dots, 100 ). Это тоже арифметическая прогрессия, где:

• первый член ( a_1 = 4 ),
• разность ( d = 4 ),
• последний член ( a_n = 100 ).

Сначала найдем количество членов такой прогрессии (( n )). Формула ( n )-го члена прогрессии:

[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d. ]

Подставляем ( a_n = 100 ), ( a_1 = 4 ), ( d = 4 ):

[ 100 = 4 + (n-1) \cdot 4, ] [ 100 - 4 = (n-1) \cdot 4, ] [ 96 = (n-1) \cdot 4, ] [ n - 1 = 24 \quad \Rightarrow \quad n = 25. ]

Теперь находим сумму ( S_n ) по формуле:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n). ]

Подставляем значения ( n = 25 ), ( a_1 = 4 ), ( a_n = 100 ):

[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (4 + 100) = \frac{25}{2} \cdot 104 = 25 \cdot 52 = 1300. ]

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 100, равна ( 1300 ).

в) Сумма всех нечетных чисел, не превосходящих 100

Нечетные числа, не превосходящие 100: ( 1, 3, 5, \dots, 99 ). Это арифметическая прогрессия, где:

• первый член ( a_1 = 1 ),
• разность ( d = 2 ),
• последний член ( a_n = 99 ).

Сначала найдем количество членов такой прогрессии (( n )):

[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d. ]

Подставляем ( a_n = 99 ), ( a_1 = 1 ), ( d = 2 ):

[ 99 = 1 + (n-1) \cdot 2, ] [ 99 - 1 = (n-1) \cdot 2, ] [ 98 = (n-1) \cdot 2, ] [ n - 1 = 49 \quad \Rightarrow \quad n = 50. ]

Теперь находим сумму ( S_n ) по формуле:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n). ]

Подставляем значения ( n = 50 ), ( a_1 = 1 ), ( a_n = 99 ):

[ S_{50} = \frac{50}{2} \cdot (1 + 99) = 25 \cdot 100 = 2500. ]

Ответ: Сумма всех нечетных чисел, не превосходящих 100, равна ( 2500 ).

Итоговые ответы:

а) ( 1275 ),
б) ( 1300 ),
в) ( 2500 ).