АНтон является владельцем двух заводов в разных городах.на заводе производятся абсолютно одинаковые...

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие переменные:

• ( t_1 ) — количество часов работы на первом заводе.
• ( t_2 ) — количество часов работы на втором заводе.
• ( x_1 ) — количество единиц товара, произведённого на первом заводе.
• ( x_2 ) — количество единиц товара, произведённого на втором заводе.

Из условия задачи известно, что если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно ( t^2 ) часов в неделю, то они производят ( t ) единиц товара. Это означает, что:

[ t_1^2 ] — суммарное количество часов работы на первом заводе, и ( t_1 ) — количество произведённых единиц товара на первом заводе. [ t_2^2 ] — суммарное количество часов работы на втором заводе, и ( t_2 ) — количество произведённых единиц товара на втором заводе.

Также известно, что:

• За каждый час работы Антон платит рабочему на первом заводе 250 рублей, а на втором 200 рублей.
• Антон готов выделять 900000 рублей в неделю на оплату труда рабочих.

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

1. ( x_1 = t_1 ) и ( x_2 = t_2 )
2. Стоимость оплаты труда на первом заводе: ( 250 \cdot t_1^2 )
3. Стоимость оплаты труда на втором заводе: ( 200 \cdot t_2^2 )
4. Общие затраты на оплату труда: ( 250t_1^2 + 200t_2^2 \leq 900000 )

Наша цель — минимизировать общее количество произведённых единиц товара ( x_1 + x_2 = t_1 + t_2 ).

Теперь решим неравенство ( 250t_1^2 + 200t_2^2 \leq 900000 ) с учётом минимизации ( t_1 + t_2 ).

Приведём неравенство к более удобному виду:

[ t_1^2 + \frac{4}{5} t_2^2 \leq 3600 ]

Перепишем это неравенство в форме эллипса:

[ \frac{t_1^2}{3600} + \frac{t_2^2}{4500} \leq 1 ]

Минимизация суммы ( t_1 + t_2 ) возможна при минимальных значениях ( t_1 ) и ( t_2 ), однако они должны удовлетворять эллиптическому уравнению. Применим метод Лагранжа для минимизации:

Функция Лагранжа:

[ L(t_1, t_2, \lambda) = t_1 + t_2 + \lambda \left( \frac{t_1^2}{3600} + \frac{t_2^2}{4500} - 1 \right) ]

Найдём частные производные и приравняем их к нулю:

[ \frac{\partial L}{\partial t_1} = 1 + \lambda \frac{2t_1}{3600} = 0 \Rightarrow \lambda = - \frac{3600}{2t_1} ]

[ \frac{\partial L}{\partial t_2} = 1 + \lambda \frac{2t_2}{4500} = 0 \Rightarrow \lambda = - \frac{4500}{2t_2} ]

Приравняем значения λ:

[ \frac{3600}{2t_1} = \frac{4500}{2t_2} \Rightarrow 3600t_2 = 4500t_1 \Rightarrow \frac{t_2}{t_1} = \frac{5}{4} ]

Подставим это соотношение в уравнение эллипса:

[ t_1^2 + \frac{4}{5} \left( \frac{5}{4} t_1 \right)^2 = 3600 \Rightarrow t_1^2 + t_1^2 = 3600 \Rightarrow 2t_1^2 = 3600 \Rightarrow t_1^2 = 1800 \Rightarrow t_1 = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} ]

Теперь найдем ( t_2 ):

[ t_2 = \frac{5}{4}t_1 = \frac{5}{4} \cdot 30\sqrt{2} = 37.5\sqrt{2} ]

Теперь найдём ( t_1 + t_2 ):

[ t_1 + t_2 = 30\sqrt{2} + 37.5\sqrt{2} = 67.5\sqrt{2} \approx 95.5 ]

Таким образом, наименьшее количество единиц товара, которое можно произвести на двух заводах, составляет примерно 95.5 единиц товара.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться методом оптимизации. Обозначим количество часов работы рабочих на первом заводе как x, а на втором заводе как y. Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:

x^2 = t^2 250x + 200y = 900000

Так как x^2 = t^2, то x = t. Подставим это во второе уравнение:

250t + 200y = 900000 250t + 200y = 900000 250t + 200(y) = 900000 250t + 200(900000 - 250t) = 900000 250t + 180000000 - 50000t = 900000 -250t = -179100000 t = 716400

Таким образом, рабочие на одном из заводов должны трудиться 716400 часов в неделю, чтобы произвести минимальное количество товара на обоих заводах.