Бассейн наполняется из двух труб за 7, 5 часов, если открыть только первую трубу, то бассейн заполнится...

Рассмотрим задачу по алгебре о времени заполнения бассейна из двух труб.

Обозначим время, за которое первая труба наполняет бассейн, через ( t_1 ) часов, а время, за которое вторая труба наполняет бассейн, через ( t_2 ) часов. По условию задачи известно, что бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Также известно, что если открыть только первую трубу, то бассейн заполнится на 8 часов быстрее, чем если открыть только вторую трубу. Это можно записать как: [ t_1 = t_2 - 8 ]

Теперь давайте выразим заполняемость бассейна через продуктивность труб. Продуктивность одной трубы определяется как обратная величина времени, за которое она наполняет бассейн. Соответственно:

• Продуктивность первой трубы: ( \frac{1}{t_1} )
• Продуктивность второй трубы: ( \frac{1}{t_2} )

Когда работают обе трубы вместе, их совместная продуктивность складывается: [ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{7.5} ]

Подставим известное значение ( t_1 = t_2 - 8 ) в уравнение: [ \frac{1}{t_2 - 8} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{7.5} ]

Приведем обе дроби к общему знаменателю: [ \frac{t_2 + (t_2 - 8)}{(t_2 - 8)t_2} = \frac{1}{7.5} ]

Упростим числитель: [ \frac{2t_2 - 8}{t_2(t_2 - 8)} = \frac{1}{7.5} ]

Для удобства дальнейших вычислений 7,5 представим в виде дроби: [ \frac{2t_2 - 8}{t_2(t_2 - 8)} = \frac{1}{\frac{15}{2}} ]

То же самое: [ \frac{2t_2 - 8}{t_2(t_2 - 8)} = \frac{2}{15} ]

Теперь уравняем числители: [ 15(2t_2 - 8) = 2t_2(t_2 - 8) ]

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: [ 30t_2 - 120 = 2t_2^2 - 16t_2 ]

Перенесем все члены в одну сторону: [ 2t_2^2 - 16t_2 - 30t_2 + 120 = 0 ] [ 2t_2^2 - 46t_2 + 120 = 0 ]

Разделим уравнение на 2 для упрощения: [ t_2^2 - 23t_2 + 60 = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант: [ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 ] [ D = 529 - 240 ] [ D = 289 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ t_2 = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{2} ] [ t_2 = \frac{23 \pm 17}{2} ]

Получим два значения: [ t_2 = \frac{23 + 17}{2} = 20 ] [ t_2 = \frac{23 - 17}{2} = 3 ]

Так как время ( t_2 ) должно быть положительным и больше ( t_1 ) (поскольку ( t_1 = t_2 - 8 )), то ( t_2 = 20 ) часов.

Итак, вторая труба будет наполнять бассейн за 20 часов.

Пусть скорость наполнения бассейна первой трубой равна а (в частях бассейна за час), а второй трубой - b (в частях бассейна за час). Тогда из условия задачи получаем систему уравнений:

1. 7,5а + 7,5b = 1 - уравнение, означающее, что обе трубы наполняют бассейн за 7,5 часов
2. 8а = 1 - уравнение, означающее, что первая труба наполняет бассейн за 8 часов быстрее, чем вторая

Решим эту систему уравнений. Подставляем второе уравнение в первое:

7,5(1/8) + 7,5b = 1 0,9375 + 7,5b = 1 7,5b = 1 - 0,9375 7,5b = 0,0625 b = 0,0625 / 7,5 b = 1 / 120

Итак, скорость наполнения бассейна второй трубой равна 1/120 часть бассейна за час. Следовательно, вторая труба будет наполнять бассейн 120 часов.