Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол...

Для решения данной задачи, нам необходимо найти высоту пирамиды.

Поскольку боковое ребро образует с плоскостью основания прямой угол, то треугольник, образованный боковым ребром, высотой и полудиагональю основания, является прямоугольным.

Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусам, то катет этого прямоугольного треугольника равен половине бокового ребра, то есть 2 см.

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный полудиагональю основания, высотой и радиусом вписанной окружности. Учитывая, что угол между высотой и полудиагональю равен 60 градусам, можно найти радиус вписанной окружности, который равен 2 см.

Теперь, зная радиус вписанной окружности, можно найти площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды, которая равна 16 см².

И, наконец, объём правильной четырёхугольной пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) S h, где S - площадь основания (16 см²), h - высота пирамиды.

Подставив известные значения, получим: V = (1/3) 16 h = (16/3) h ≈ 5.33 h.

Таким образом, объём пирамиды равен примерно 5.33 * h см³.

Конечно, давайте решим эту задачу.

Для начала разберём геометрические характеристики правильной четырёхугольной пирамиды. В данной задаче известно, что:

1. Боковое ребро пирамиды ( AB = 4 ) см.
2. Угол между боковым ребром и плоскостью основания ( \angle ABC = 60^\circ ).

Пусть основанием пирамиды является квадрат ( ABCD ), а вершина пирамиды — точка ( S ). Тогда боковое ребро ( SA = 4 ) см и угол ( \angle SAB = 60^\circ ).

Для нахождения объёма пирамиды нам нужно знать высоту пирамиды и площадь её основания.

Шаг 1: Нахождение высоты пирамиды

Высота пирамиды ( SO ) (где ( O ) — центр квадрата ( ABCD )) перпендикулярна плоскости основания и опускается из вершины пирамиды ( S ).

Рассмотрим треугольник ( SAO ):

1. ( \angle SAO = 60^\circ )
2. ( SA = 4 ) см

( SO ) является высотой треугольника ( SAO ), и её можно найти, используя косинус угла ( \angle SAO ):

[ \cos(60^\circ) = \frac{AO}{SA} ]

Поскольку ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), то:

[ \frac{AO}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow AO = 2 \text{ см} ]

Теперь найдём высоту ( SO ) с помощью синуса угла ( \angle SAO ):

[ \sin(60^\circ) = \frac{SO}{SA} ]

Поскольку ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), то:

[ \frac{SO}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow SO = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 2: Нахождение площади основания

Основание пирамиды — квадрат ( ABCD ) со стороной ( a ), которую мы можем найти через диагональ квадрата ( AC ). Диагональ квадрата ( AC ) равна ( 2 \cdot AO ), так как ( O ) — центр квадрата:

[ AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см} ]

Диагональ квадрата ( AC ) также равна ( a\sqrt{2} ), где ( a ) — сторона квадрата. Таким образом:

[ a\sqrt{2} = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \text{ см} ]

Площадь основания ( S_{\text{осн}} ):

[ S_{\text{осн}} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}^2 ]

Шаг 3: Нахождение объёма пирамиды

Объём правильной пирамиды вычисляется по формуле:

[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h ]

Здесь ( S_{\text{осн}} = 8 \text{ см}^2 ) и ( h = SO = 2\sqrt{3} \text{ см} ):

[ V = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды составляет ( \frac{16\sqrt{3}}{3} ) кубических сантиметров.