Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 часов скорее, чем бригада...

Рассмотрим задачу подробно. Нам нужно найти время, за которое бригада учеников может самостоятельно выполнить всё задание. Для удобства введем обозначения:

• Пусть ( x ) — время (в часах), за которое бригада учеников может самостоятельно выполнить всё задание.
• Тогда бригада учеников выполняет за 1 час ( \frac{1}{x} ) часть задания.
• Бригада слесарей может выполнить задание на 15 часов быстрее учеников, следовательно, они могут выполнить задание за ( x - 15 ) часов.
• Тогда за 1 час бригада слесарей выполняет ( \frac{1}{x - 15} ) часть задания.

Теперь используем условия задачи.

1. Бригада учеников работала 18 часов. За это время они выполнили ( 18 \cdot \frac{1}{x} = \frac{18}{x} ) части задания.
2. После этого бригада слесарей работала 6 часов. За это время они выполнили ( 6 \cdot \frac{1}{x - 15} = \frac{6}{x - 15} ) части задания.
3. Суммарно за это время (18 часов работы учеников + 6 часов работы слесарей) было выполнено ( \frac{3}{5} ) задания.

Запишем уравнение, отражающее это условие:

[ \frac{18}{x} + \frac{6}{x - 15} = \frac{3}{5}. ]

Решение уравнения

1. Найдем общий знаменатель для дробей в левой части уравнения: ( x \cdot (x - 15) ).
2. Приведем дроби к общему знаменателю:

[ \frac{18(x - 15)}{x(x - 15)} + \frac{6x}{x(x - 15)} = \frac{3}{5}. ]

1. Объединим дроби в числителе:

[ \frac{18(x - 15) + 6x}{x(x - 15)} = \frac{3}{5}. ]

1. Раскроем скобки в числителе:

[ \frac{18x - 270 + 6x}{x(x - 15)} = \frac{3}{5}. ]

[ \frac{24x - 270}{x(x - 15)} = \frac{3}{5}. ]

1. Умножим обе части уравнения на ( 5 \cdot x(x - 15) ), чтобы избавиться от знаменателей:

[ 5(24x - 270) = 3x(x - 15). ]

1. Раскроем все скобки:

[ 120x - 1350 = 3x^2 - 45x. ]

1. Преобразуем уравнение в стандартный вид (перенесем все в одну сторону):

[ 3x^2 - 45x - 120x + 1350 = 0. ]

[ 3x^2 - 165x + 1350 = 0. ]

1. Упростим уравнение, разделив все его коэффициенты на 3:

[ x^2 - 55x + 450 = 0. ]

Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение ( x^2 - 55x + 450 = 0 ) с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225. ]

Найдем корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-55) \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{55 \pm 35}{2}. ]

[ x_1 = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45, \quad x_2 = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10. ]

Выбор подходящего корня

Поскольку ( x ) — время, за которое бригада учеников выполняет задание, оно должно быть больше времени, за которое работает бригада слесарей (( x - 15 > 0 )). Следовательно, ( x > 15 ). Поэтому подходящий корень — ( x = 45 ).

Ответ

Бригаде учеников требуется 45 часов, чтобы самостоятельно выполнить всё задание.

Чтобы решить эту задачу, введем следующие обозначения:

• Пусть ( T ) — время, необходимое бригаде учеников для самостоятельного выполнения задания (в часах).
• Пусть ( R_s ) — производительность бригады слесарей (часть задания, выполненная за 1 час).
• Пусть ( R_u ) — производительность бригады учеников (часть задания, выполненная за 1 час).

Мы знаем, что бригада слесарей выполняет задание на 15 часов быстрее, чем бригада учеников, поэтому можно записать:

[ T - 15 = \frac{1}{R_s} ]

Таким образом, время, необходимое бригаде слесарей для выполнения задания, равно ( T - 15 ).

Кроме того, если бригада учеников работает 18 часов, а затем бригада слесарей продолжает работу еще 6 часов, вместе они выполняют 3/5 задания. Это можно записать как:

[ 18R_u + 6R_s = \frac{3}{5} ]

Теперь, давайте выразим производительности бригад через ( T ):

Поскольку бригада учеников выполняет всё задание за ( T ) часов, то:

[ R_u = \frac{1}{T} ]

А бригада слесарей выполняет задание за ( T - 15 ) часов, следовательно:

[ R_s = \frac{1}{T - 15} ]

Теперь мы можем подставить эти значения в уравнение:

[ 18 \cdot \frac{1}{T} + 6 \cdot \frac{1}{T - 15} = \frac{3}{5} ]

Умножим всё уравнение на ( 5T(T - 15) ) для устранения дробей:

[ 5T(T - 15) \left( 18 \cdot \frac{1}{T} + 6 \cdot \frac{1}{T - 15} \right) = 3T(T - 15) ]

Это приведет к следующему уравнению:

[ 90(T - 15) + 30T = 3T(T - 15) ]

Раскроем скобки:

[ 90T - 1350 + 30T = 3T^2 - 45T ]

Соберем всё в одно уравнение:

[ 3T^2 - 45T - 120T + 1350 = 0 ]

Упростим:

[ 3T^2 - 165T + 1350 = 0 ]

Разделим уравнение на 3:

[ T^2 - 55T + 450 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225 ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ T = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{55 \pm 35}{2} ]

Это дает два возможных решения:

[ T_1 = \frac{90}{2} = 45, \quad T_2 = \frac{20}{2} = 10 ]

Так как время не может быть отрицательным и бригада учеников не может выполнить задание за 10 часов, правильный ответ:

[ T = 45 ]

Таким образом, время, необходимое бригаде учеников для самостоятельного выполнения задания, составляет 45 часов.