Чему равна производная e^3x ?

Производная функции ( e^{3x} ) может быть найдена с использованием правила цепочки. Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом.

1. Функция и её структура: Мы имеем функцию ( f(x) = e^{3x} ). Здесь функция экспоненты ( e ) возводится в степень, которая сама является функцией от ( x ) — ( 3x ).

2. Применение правила цепочки: Правило цепочки в дифференцировании используется, когда мы имеем дело с композицией функций. Пусть у нас есть функция ( y = e^u ), где ( u = 3x ). Тогда производная ( dy/dx ) может быть найдена следующим образом: [ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ]

3. Нахождение производной внешней функции: В данном случае внешняя функция ( y = e^u ) имеет производную относительно ( u ): [ \frac{dy}{du} = e^u ]

4. Нахождение производной внутренней функции: Внутренняя функция ( u = 3x ) имеет производную относительно ( x ): [ \frac{du}{dx} = 3 ]

5. Объединение результатов: Теперь подставим эти производные в формулу правила цепочки: [ \frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 ] Так как ( u = 3x ), подставим обратно: [ \frac{dy}{dx} = e^{3x} \cdot 3 ]

6. Итоговый результат: Таким образом, производная функции ( e^{3x} ) равна: [ \frac{d}{dx} e^{3x} = 3e^{3x} ]

Этот результат показывает, что при дифференцировании экспоненциальной функции, где аргументом является линейная функция от ( x ), мы умножаем исходную функцию на коэффициент, стоящий при ( x ) в аргументе. В данном случае это коэффициент 3.

Для нахождения производной функции e^3x необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Производная функции e^x равна самой функции, то есть e^x. Для нахождения производной e^3x нужно умножить производную e^x на производную аргумента (3x) по правилу цепной функции.

Производная e^3x равна e^3x умноженное на производную аргумента (3x), то есть 3. Таким образом, производная функции e^3x равна 3e^3x.

Производная e^3x равна 3e^3x.