Число 56 представьте в виде трех положителтных чисел так что бы сумма квадратов всех слагаемых была...

Для решения задачи представим число 56 в виде суммы трёх положительных чисел (a), (b) и (c), таких что (a + b + c = 56). Нам нужно минимизировать сумму квадратов этих чисел, то есть минимизировать выражение (a^2 + b^2 + c^2), при условии, что (a) и (b) находятся в отношении 1:2.

Пусть (a = x) и (b = 2x), тогда (a + b + c = x + 2x + c = 3x + c = 56). Отсюда можно выразить (c) через (x): [ c = 56 - 3x ]

Теперь запишем выражение для суммы квадратов: [ a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + (2x)^2 + (56 - 3x)^2 ] [ = x^2 + 4x^2 + (56 - 3x)^2 ] [ = x^2 + 4x^2 + (56^2 - 2 \cdot 56 \cdot 3x + (3x)^2) ] [ = x^2 + 4x^2 + 3136 - 336x + 9x^2 ] [ = 14x^2 - 336x + 3136 ]

Теперь нужно найти значение (x), при котором данное выражение будет минимальным. Это задача нахождения минимума квадратичной функции. Стандартный метод для этого — использование формулы вершины параболы (ax^2 + bx + c), где минимум (или максимум) достигается при (x = -\frac{b}{2a}).

Для функции (14x^2 - 336x + 3136): [ a = 14, \, b = -336, \, c = 3136 ] [ x = -\frac{-336}{2 \cdot 14} = \frac{336}{28} = 12 ]

Подставим (x = 12) в выражения для (a), (b) и (c): [ a = x = 12 ] [ b = 2x = 24 ] [ c = 56 - 3x = 56 - 36 = 20 ]

Таким образом, числа (a = 12), (b = 24) и (c = 20) удовлетворяют условиям задачи:

1. ( a + b + c = 12 + 24 + 20 = 56 )
2. Отношение первого числа ко второму ( \frac{a}{b} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} )
3. Сумма квадратов минимальна: [ 12^2 + 24^2 + 20^2 = 144 + 576 + 400 = 1120 ]

Итак, наименьшая сумма квадратов трёх положительных чисел, сумма которых равна 56, при условии, что отношение первого числа ко второму равно 1:2, достигается при числах (12, 24) и (20).

Пусть искомые числа будут x, 2x и y. Тогда сумма квадратов будет равна x^2 + (2x)^2 + y^2. Нам нужно минимизировать эту сумму.

Раскрывая скобки, получаем x^2 + 4x^2 + y^2 = 5x^2 + y^2. Для минимизации этой суммы нужно минимизировать каждое слагаемое. Так как у нас ограничение на отношение первого и второго числа (x:2x = 1:2), то первое число будет 14, второе число 28, а третье число 14.

Таким образом, числа 14, 28 и 14 удовлетворяют условию задачи.

Пусть первое число равно 8, второе число равно 16, третье число равно 32. Тогда сумма квадратов этих чисел будет минимальной (8^2 + 16^2 + 32^2 = 64 + 256 + 1024 = 1344), а отношение первого числа ко второму будет 1:2.