(cos 2x + √2 cosx +1)/(tgx -1) Это дробь , первая скобка числитель , а вторая -знаменатель 1) решить 2) найти все корни уравнения , принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]
(cos 2x + √2 cosx +1)/(tgx -1) Это дробь , первая скобка числитель , а вторая -знаменатель 1) решить 2) найти все корни уравнения , принадлежащие отрезку [3π/2; 3π]
1) Для начала раскроем скобки в числителе: cos 2x + √2 cosx + 1 = cos^2x - sin^2x + √2 cosx + 1 = (cosx - sinx + 1)(cosx + sinx + 1)
Теперь можем записать выражение в виде: ((cosx - sinx + 1)(cosx + sinx + 1))/(tgx - 1)
2) Чтобы найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π], мы должны найти значения x, при которых числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю.
Таким образом, у нас есть два уравнения: cosx - sinx + 1 = 0 и tgx - 1 ≠ 0
Решим первое уравнение: cosx - sinx + 1 = 0 cosx = sinx - 1 cos^2x = sin^2x - 2sinx + 1 1 - sin^2x = sin^2x - 2sinx + 1 2sin^2x - 2sinx = 0 2sinx(sinx - 1) = 0
Отсюда получаем два уравнения: 1) sinx = 0 2) sinx = 1
1) Когда sinx = 0, то x = 3π/2, 2π, 5π/2 2) Когда sinx = 1, то x = π/2
Теперь найдем значения x, при которых tgx ≠ 1: tgx - 1 ≠ 0 tgx ≠ 1 x ≠ π/4
Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π], будут: x = 3π/2, 2π, 5π/2
Чтобы решить данное выражение и найти корни уравнения, принадлежащие отрезку ([3\pi/2; 3\pi]), давайте рассмотрим каждый шаг подробно.
Упростим числитель:
Числитель выражения: (\cos 2x + \sqrt{2} \cos x + 1).
Используя формулу двойного угла для косинуса, мы знаем, что: [ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1. ]
Поэтому числитель можно переписать как: [ 2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2} \cos x + 1 = 2\cos^2 x + \sqrt{2} \cos x. ]
Рассмотрим знаменатель:
Знаменатель выражения: (\tan x - 1).
Решим уравнение:
Уравнение, которое необходимо решить: [ \frac{2\cos^2 x + \sqrt{2} \cos x}{\tan x - 1} = 0. ]
Для дроби быть равной нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, так как знаменатель не должен быть равен нулю.
Уравнение числителя: [ 2\cos^2 x + \sqrt{2} \cos x = 0. ]
Вынесем (\cos x) за скобки: [ \cos x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0. ]
Отсюда получаем два уравнения: [ \cos x = 0 \quad \text{и} \quad 2\cos x + \sqrt{2} = 0. ]
Для (\cos x = 0), решения: [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
Для (2\cos x + \sqrt{2} = 0), решим: [ 2\cos x = -\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}. ]
Решения для (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
Проверим решения в знаменателе:
Знаменатель не должен быть равен нулю: [ \tan x - 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x \neq 1. ]
Это происходит при: [ x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
Найдем корни на отрезке ([3\pi/2; 3\pi]):
Рассмотрим решения (\cos x = 0): [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi. ]
На отрезке ([3\pi/2; 3\pi]) получаем: [ x = 2\pi. ]
Рассмотрим решения (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi. ]
Подбираем (k), чтобы попасть в отрезок ([3\pi/2; 3\pi]): [ x = \frac{11\pi}{4} = 2.75\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{13\pi}{4} = 3.25\pi \quad \text{(оба вне отрезка)}. ]
Таким образом, единственное решение на отрезке ([3\pi/2; 3\pi]) — это (x = 2\pi).
1) Для решения данной дроби необходимо преобразовать выражение (cos 2x + √2 cosx +1)/(tgx -1) с помощью тригонометрических тождеств и заменой тангенса через синус и косинус. 2) Для нахождения всех корней уравнения на отрезке [3π/2; 3π] необходимо подставить значения x из данного интервала в уравнение и найти все решения.
