Cos 5x=cos 7x . Помогите пожалуйста,очень срочно надо

Чтобы решить уравнение ( \cos(5x) = \cos(7x) ), мы можем воспользоваться свойствами косинуса. Одно из таких свойств гласит, что если ( \cos A = \cos B ), то можно записать два возможных равенства:

1. ( A = B + 2k\pi ), где ( k ) — целое число.
2. ( A = -B + 2k\pi ).

Применим это к нашему уравнению:

Первый случай:

1. ( 5x = 7x + 2k\pi )

Переносим ( 7x ) влево:

[ 5x - 7x = 2k\pi ]

[ -2x = 2k\pi ]

Делим обе стороны на -2:

[ x = -k\pi ]

Второй случай:

1. ( 5x = -7x + 2k\pi )

Переносим ( -7x ) влево:

[ 5x + 7x = 2k\pi ]

[ 12x = 2k\pi ]

Делим обе стороны на 12:

[ x = \frac{k\pi}{6} ]

Общий ответ:

Таким образом, общее решение уравнения ( \cos(5x) = \cos(7x) ) можно выразить как:

[ x = -k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{k\pi}{6} ]

где ( k ) — целое число. Это означает, что все решения будут расположены на числовой оси в зависимости от выбора ( k ).

Рассмотрим уравнение:

[ \cos(5x) = \cos(7x) ]

1. Основное свойство косинуса

Вспомним, что для косинуса выполняется равенство:

[ \cos(a) = \cos(b) \quad \text{тогда и только тогда, когда:} ] [ a = b + 2\pi k \quad \text{или} \quad a = -b + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, ]

где (k) — целое число.

Применим это свойство к нашему уравнению ( \cos(5x) = \cos(7x) ).

2. Первый случай: (5x = 7x + 2\pi k)

Рассмотрим первый случай:

[ 5x = 7x + 2\pi k ]

Упростим это уравнение, собрав все члены с (x) в одну часть:

[ 5x - 7x = 2\pi k ]

[ -2x = 2\pi k ]

Разделим обе части на (-2):

[ x = -\pi k ]

То есть, в этом случае (x = -\pi k), где (k \in \mathbb{Z}).

3. Второй случай: (5x = -7x + 2\pi k)

Рассмотрим второй случай:

[ 5x = -7x + 2\pi k ]

Упростим, собрав все члены с (x) в одну часть:

[ 5x + 7x = 2\pi k ]

[ 12x = 2\pi k ]

Разделим обе части на 12:

[ x = \frac{\pi k}{6} ]

То есть, в этом случае (x = \frac{\pi k}{6}), где (k \in \mathbb{Z}).

4. Общий вывод

Решением уравнения (\cos(5x) = \cos(7x)) являются два семейства значений (x), которые можно записать как:

[ x = -\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi k}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Или в объединённой форме:

[ x \in {-\pi k, \frac{\pi k}{6} \mid k \in \mathbb{Z}}. ]

Таким образом, (x) принимает значения из двух разных арифметических прогрессий.